Bac Maths D, Mali 2012

On pose $a=\sqrt{3}-\mathrm{i}\ ;\ b=-\sqrt{3}\ ;\ c=\dfrac{a^{2}}{b^{3}}$

1. Donner le module et un argument de $c.$

2. Donner la forme trigonométrique de $t=ab.$

Dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes on considère le polynôme d'inconnu $z$ : $$P(z)=z^{3}-4\mathrm{i}z^{2}-6z+4\mathrm{i}.$$

3. Calculer $P(2\mathrm{i}).$

4. Déterminer les complexes $a$ et $b$ tels que pour tout complexe $z$ on ait : $$P(z)=(z-2\mathrm{i})(z^{2}+az+b)$$

5. a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0.$

On désigne par $z_{1}$ la solution imaginaire pure et par $z_{2}$ et $z_{3}$ les deux autres solutions.

b) Comparer $z_{1}$ et $z_{2}$ + $z_{3}.$

A. 1. Résoudre l'équation différentielle : $4y''+y=0$

2. Déterminer la solution particulière $f$ dont la courbe représentative $(\mathcal{C})$ passe par le point $\Omega(0\ ;\ 1)$ et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation $y=x.$  

B. 1. Soit la fonction $g$ définie sur  $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=1-2x+\mathrm{e}^{2x}$$             

a) Étudier les variations de la fonction $g.$            

b) En déduire le signe de $g(x)$ pour $x\in\mathbb{R}.$       

2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+2+x\mathrm{e}^{-2x}\;,\ (\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité graphique est $2\,cm$ sur $(ox)$ et $1\,cm$ sur $(oy)).$        

a) Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty.$         

b) Démontrer que la droite $(\Delta)$ : $y=x+2$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty.$         

c) Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(\Delta).$       

d) Calculer $f'(x)$ et montrer que $f(x)=\dfrac{g(x)}{\mathrm{e}^{2x}}$ puis dresser le tableau de variation de $f.$          

e) Tracer $(\mathcal{C})$ et $(\Delta).$

3. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ définie par : $$F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+2x-\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{-2x}$$

a) Prouver que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}.$         
        
b) Calculer en $cm^{2}$ l'aire $\mathcal{A}(\mathcal{D})$ de la partie $\mathcal{D}$ du plan limitée par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1.$