Bac Maths D, Mali 2011

Exercice 1

1. Compléter le tableau suivant :  
NombreFormeFormeFormecomplexealgébriquetrigonométriqueexponentielleZA4eiπ2ZB4(cos5π6+isin5π6)ZC232i  
 
2. Placer les points A, B et C d'affixe respectives les nombre complexes ZA, ZB, et ZC dans le repère orthonormé (O ; u, v).

3. Calculer les affixes Z et Z des vecteurs AB et AC sous forme algébrique puis exponentielle.

4. Montrer que z=3eiπ2z

Exercice 2

A. Dans une culture de microbe, le nombre de microbes à l'instant t exprimé en heure, peut être considéré comme une fonction numérique y à variable réelle t.

La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre de microbe est la dérivée y de cette fonction.

On a constaté que : y(t)=ky(t)k est un coefficient réel strictement positif.

On désigne par N le nombre de microbes à l'instant t=0.

1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y=ky telle que y(0)=N.

2. Sachant qu'au bout de deux heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N le nombre de microbes au bout de trois heures.

3. Quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 6400 microbes au bout de cinq heures ?

B. Un lot de vaccin contre le choléra est efficace à 55%, c'est-à-dire sur 100 personnes vaccinées 55 seulement sont sure d'être protégées contre la maladie.

On vaccine 10 personnes avec ce produit.

Quelle est la probabilité pour que :  

a) Aucune des personnes ne soit protégée ?

b) La moitié des personnes soit protégées ?

c) Les 10 personnes soient protégées ?

Exercice 3 Problème

On étudie l'évolution d'une colonie de bactéries placée dans une pétrie.

Le nombre de bactéries en centaine est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +[ par f(t)=4et1et+2t représente le temps en heure.

On suppose que l'on peut compter le nombre de bactéries à l'unité près grâce à un compteur de radioactivité.

1. a) Calculer f(0) et interpréter ce résultat.

b) Montrer que f(t)=49et+2.

En déduire la limite de f en +.

On rappelle cette valeur la saturation.

Que peut-on en conclure pour la courbe (C) de f ?             

c) l'équation f(t)=4 admet-elle des solutions ?

Justifier la réponse.

2. Montrer que la dérivée f de f vérifie f(t)=9etet+2)2.

En déduire le tableau de variation de f sur [0 ; +[.

3. Soit (T) la tangente au point d'abscisse 0 à la courbe (C).

Déterminer l'équation de (T).

4. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant à 102 près.
t01234567f(t)

5. Tracer (C) et (T) ainsi que les asymptotes éventuelles à (C).

6. Calculer à la minute près l'instant t0 où le nombre de bactéries sera égale à 200

7. Déterminer graphiquement au bout de combien de temps, la population de cette colonie dépassera 80% de sa saturation.
 

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