Bac Maths D, Mali 2011
Exercice 1
NombreFormeFormeFormecomplexealgébriquetrigonométriqueexponentielleZA4eiπ2ZB4(cos5π6+isin5π6)ZC2√3−2i
2. Placer les points A, B et C d'affixe respectives les nombre complexes ZA, ZB, et ZC dans le repère orthonormé (O ; →u, →v).
3. Calculer les affixes Z et Z′ des vecteurs →AB et →AC sous forme algébrique puis exponentielle.
4. Montrer que z′=√3eiπ2z
Exercice 2
La vitesse de prolifération à l'instant t du nombre de microbe est la dérivée y′ de cette fonction.
On a constaté que : y′(t)=ky(t) où k est un coefficient réel strictement positif.
On désigne par N le nombre de microbes à l'instant t=0.
1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle y′=ky telle que y(0)=N.
2. Sachant qu'au bout de deux heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N le nombre de microbes au bout de trois heures.
3. Quelle est la valeur de N sachant que la culture contient 6400 microbes au bout de cinq heures ?
B. Un lot de vaccin contre le choléra est efficace à 55%, c'est-à-dire sur 100 personnes vaccinées 55 seulement sont sure d'être protégées contre la maladie.
On vaccine 10 personnes avec ce produit.
Quelle est la probabilité pour que :
a) Aucune des personnes ne soit protégée ?
b) La moitié des personnes soit protégées ?
c) Les 10 personnes soient protégées ?
Exercice 3 Problème
Le nombre de bactéries en centaine est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par f(t)=4et−1et+2 où t représente le temps en heure.
On suppose que l'on peut compter le nombre de bactéries à l'unité près grâce à un compteur de radioactivité.
1. a) Calculer f(0) et interpréter ce résultat.
b) Montrer que f(t)=4−9et+2.
En déduire la limite de f en +∞.
On rappelle cette valeur la saturation.
Que peut-on en conclure pour la courbe (C) de f ?
c) l'équation f(t)=4 admet-elle des solutions ?
Justifier la réponse.
2. Montrer que la dérivée f′ de f vérifie f′(t)=9etet+2)2.
En déduire le tableau de variation de f sur [0 ; +∞[.
3. Soit (T) la tangente au point d'abscisse 0 à la courbe (C).
Déterminer l'équation de (T).
4. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant à 10−2 près.
t01234567f(t)
5. Tracer (C) et (T) ainsi que les asymptotes éventuelles à (C).
6. Calculer à la minute près l'instant t0 où le nombre de bactéries sera égale à 200
7. Déterminer graphiquement au bout de combien de temps, la population de cette colonie dépassera 80% de sa saturation.
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