Bac Maths D, Mali 2011

1. Compléter le tableau suivant :  
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Nombre}&\text{Forme}&\text{Forme}&\text{Forme}\\ \text{complexe}&\text{algébrique}&\text{trigonométrique}&\text{exponentielle}\\
\hline Z_{A}&&&4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2}}\\ \hline Z_{B}&&4\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)&\\ \hline Z_{C}&2\sqrt{3}-2\mathrm{i}&&\\
\hline \end{array}$$  
 
2. Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectives les nombre complexes $Z_{A}$, $Z_{B}$, et $Z_{C}$ dans le repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

3. Calculer les affixes $Z$ et $Z'$ des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sous forme algébrique puis exponentielle.

4. Montrer que $z'=\sqrt{3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2}}z$

A. Dans une culture de microbe, le nombre de microbes à l'instant $t$ exprimé en heure, peut être considéré comme une fonction numérique y à variable réelle $t.$

La vitesse de prolifération à l'instant $t$ du nombre de microbe est la dérivée $y'$ de cette fonction.

On a constaté que : $y'(t)=ky(t)$ où $k$ est un coefficient réel strictement positif.

On désigne par $N$ le nombre de microbes à l'instant $t=0.$

1. Déterminer l'unique solution de l'équation différentielle $y'=ky$ telle que $y(0)=N.$

2. Sachant qu'au bout de deux heures le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de $N$ le nombre de microbes au bout de trois heures.

3. Quelle est la valeur de $N$ sachant que la culture contient 6400 microbes au bout de cinq heures ?

B. Un lot de vaccin contre le choléra est efficace à $55\%$, c'est-à-dire sur $100$ personnes vaccinées $55$ seulement sont sure d'être protégées contre la maladie.

On vaccine $10$ personnes avec ce produit.

Quelle est la probabilité pour que :  

a) Aucune des personnes ne soit protégée ?

b) La moitié des personnes soit protégées ?

c) Les $10$ personnes soient protégées ?

On étudie l'évolution d'une colonie de bactéries placée dans une pétrie.

Le nombre de bactéries en centaine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\ ;\ +\infty[$ par $f(t)=\dfrac{4\mathrm{e}^{t}-1}{\mathrm{e}^{t}+2}$ où $t$ représente le temps en heure.

On suppose que l'on peut compter le nombre de bactéries à l'unité près grâce à un compteur de radioactivité.

1. a) Calculer $f(0)$ et interpréter ce résultat.

b) Montrer que $f(t)=4-\dfrac{9}{\mathrm{e}^{t}+2}.$

En déduire la limite de $f$ en $+\infty.$

On rappelle cette valeur la saturation.

Que peut-on en conclure pour la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$ ?             

c) l'équation $f(t)=4$ admet-elle des solutions ?

Justifier la réponse.

2. Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ vérifie $f'(t)=\dfrac{9\mathrm{e}^{t}}{\mathrm{e}^{t}+2)^{2}}.$

En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0\ ;\ +\infty[.$

3. Soit $(T)$ la tangente au point d'abscisse $0$ à la courbe $(\mathcal{C}).$

Déterminer l'équation de $(T).$

4. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en arrondissant à $10^{-2}$ près.
$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline t&0&1&2&3&4&5&6&7\\  \hline f(t)&&&&&&&&\\ \hline  \end{array}$$

5. Tracer $(\mathcal{C})$ et $(T)$ ainsi que les asymptotes éventuelles à $(\mathcal{C}).$

6. Calculer à la minute près l'instant $t_{0}$ où le nombre de bactéries sera égale à $200$

7. Déterminer graphiquement au bout de combien de temps, la population de cette colonie dépassera $80\%$ de sa saturation.