Bac Maths D, Mali 2010

A. Le plan complexe $P$ est rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^{2}-3\sqrt{3}z+4=0.$

On pose $a=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ; $b=\sqrt{3-\mathrm{i}}.$

Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle et placer les points $A$ d'affixe $a$ et $B$ d'affixe $b$ dans le repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

2. Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$

Calculer à affixe de $A'=r(A).$

Écrire $a'$ sous forme algébrique et placer $A'$ dans le même repère.

B. Dans une certaine ville, il y a $3$ médecins.

Quatre habitants malades la même nuit appellent un médecin au téléphone après avoir choisi au hasard l'un des $3$ médecins dans l'annuaire.

1. Quelle est la probabilité pour que les $4$ malades appellent le même médecin.

2. Quelle est la probabilité pour que les $3$ médecins soient appelés.

N.B : les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

On ajoute une certaine dose d'un antibiotique à un bouillon de culture contenant des microbes sensibles à cet antibiotique.

Un ordinateur compte et indique à chaque heure le nombre de microbes vivant dans le bouillon ; on s'aperçoit qu'à chaque heure, le nombre de microbes vivant est la moitié du nombre de microbes à l'heure précédente.

1. Sachant qu'à $6$ heures le bouillon contenait $N$ microbes, calculer le nombre de microbes vivant aux heures suivantes : $7$h ; $8$h ; $9$h ; $10$h.

Montrer que ces nombres sont en progression géométrique.

Calculer pour un entier positif $n$ la somme $S_{n}$ de $n$ premiers termes de cette progression.

2. A $12$ heures, on ajoute au bouillon un produit qui annule l'effet de l'antibiotique.

On constate alors que le nombre de microbes vivants dans le bouillon augmente de $25\%$ par heures.

Calculer le nombre de bouillon vivants dans le bouillon à $14$h si $N=10^{10}.$

Soit la fonction $f$ définie sur $[10\ ;\ 100]$ par : $f(x)=\dfrac{\ln x-2}{x}$
 
1. Calculer $f'(x)$

2. Démontrer que $f'(x)$ est positive sur l'intervalle $[10\ ;\ \mathrm{e}^{3}]$ et négative sur $[100\ ;\ \mathrm{e}^{3}]$

3. Dresser le tableau de variation de $f.$

On se propose d'exprimer la capacité pulmonaire de l'être vivant en fonction de son âge.

$x$ représentée en année et $g(x)$ la capacité pulmonaire en litre, on admet que sur l'intervalle $[10\ ;\ 100]$ on a : $g(x)=110f(x)$ où $f$ est la fonction définie sur la partie A.

1. Calculer la capacité pulmonaire à $10$ ans, $15$ ans, $30$ ans et $60$ ans.

2. Tracer la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal $($en abscisse $2\,cm$ pour $10$ ans et en ordonnée $3\,cm$ pour $1$ litre$).$
 
3. A quel âge la capacité pulmonaire est-elle maximale ?

Quelle est cette capacité maximale ?

4. Déterminer graphiquement l'intervalle du temps durant lequel la capacité pulmonaire reste supérieure ou égale à $5$ litres.