Bac Maths D, Congo 2018

Exercice 1  

Le plan complexe C étant rapporté au repère orthonormal direct (O ; u ; v).

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : ZA=1+2i ; ZB=1+2i ; ZC=1i et ZD=1

1) a. Déterminer l'affixe ZBC du vecteur BC.

b. Déterminer l'expression analytique de la translation de vecteur BC.
 
c. Trouver l'affixe du point A image du point A par la translation de vecteur BC.
 
2) a. Prouver qu'une mesure, en radian, de l'angle (AD, AB) est π2.
 
b. Écrire l'expression analytique de la rotation R de centre A et d'angle (AD, AB).

c. Trouver l'affixe du point C image du point C par la rotation R.

3) Déterminer le rapport et l'angle de la similitude plane directe S de centre A et qui transforme B en A.

Exercice 2 

Soit E un plan vectoriel rapporté à sa base canonique (i ; j).

On considère les deux droites vectorielles (D1) et ((D2) d'équations cartésiennes respectives x2y=0 et x+y=0 de ce plan.

1) Vérifier que les droites (D1) et ((D2) sont engendrées respectivement par les vecteurs e1=2i+j  et  e2=i+j.

2) Prouver que la famille (e1 ; e2) est une base de E.

3) Montrer que les sous-espaces vectoriels (D1) et (D2) sont supplémentaires dans E.

4) Soit f un endomorphisme de E défini par : (e1)=e1et(e2)=e2

Exprimer les vecteurs f(i) et f(j) dans la base (i ; j).

Exercice 3   

Partie A  

Soit la fonction numérique f à variable réelle x, définie par :
{f(x)=lnx1+lnxsi x>0f(x)=e2xsi x0

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (0 ; i ; j) d'unité graphique : 2cm.

1) Déterminer l'ensemble de définition de f.

2) Vérifier que la fonction f est continue en x=0.

3) Étudier la dérivabilité de f en x=0.

4) a. Déterminer la fonction dérivée f de f.

b. Dresser le tableau de variation de f.

5) a. Préciser les branches infinies à la courbe (C) de f.

b. Tracer (C).

6) Calculer l'aire A du domaine limité par la courbe (C) de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 ; x=0.

Exercice 4

Le tableau ci-dessous représente le couple (x ; y) des deux caractères d'une série statistique.

x est le nombre de jours et y le poids en mg d'une larve.
x123456y0.21.41.822.63

1) Calculer les coordonnées ˉx et ˉy du point moyen G.

2) Déterminer l'équation de la droite de régression linéaire de y en x.

3) Estimer le poids de la larve au 7ième jour.

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