Bac Maths D, Congo 2017
Exercice 1
On considère le polynôme P défini par : P(Z)=Z3+Z2−2.
1) a. Montrer que 1 est une racine de P(Z).
b. Vérifier que P(Z) peut s'écrire sous la forme : P(Z)=(Z−1)(Z2+2Z+2).
c. Résoudre dans C l'équation P(Z)=0.
2) On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
ZA=1 ; ZB=−1+i et ZC=−1−i
a. Construire le triangle ABC.
b. Déterminer l'affixe ZD du point D telle que ABCD soit un parallélogramme.
3) Soit R la rotation de centre A et d'angle de mesure π3.
a. Montrer que l'expression complexe de R est telle que :
Z′=(12+i√32)Z+12−i√32
b. Soit M et M′ les points d'affixes respectives Z=x+iy et Z′=x′+iy′.
Exprimer les coordonnées x′ et y′ du point M′ en fonction de x et y.
Exercice 2
{5f(→i)=a→i+4→jf(→j)=45→i−35→j
1) Déterminer la matrice de f dans la base (→i ; →j).
2) Déterminer l'expression analytique de f.
3) Déterminer le réel a pour que f soit une symétrie vectorielle.
4) On pose a=3.
a. Déterminer les éléments caractéristiques de f (base et direction).
b. Déterminer un vecteur directeur (→e1) de la base.
c. Déterminer un vecteur directeur (→e2) de la direction.
d. Soit →e1=2i+→j et →e2=−i+2→j deux vecteurs.
Démontrer que (→e1 ; →e2) est une base de R2.
e. Donner la matrice de f relativement à la base (→e1 ; →e2).
Exercice 3
Partie A
1) Calculer les limites de g en 0+ et en +∞.
2) a. Calculer la dérivée g′ de g sur ]0 ; +∞[.
b. Dresser le tableau de variation de g.
3) a. Montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique α∈]32 ; 2[.
b. En déduire le signe de g(x) sur ]0 ; +∞[.
Partie B
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O, →i ; →j).
1) Calculer les limites de f en 0+ et en +∞.
2) a. Montrer que la dérivée f′ de f est f′(x)=−g(x).
c. Dresser le tableau de variation de f.
On prendra α=1.7 et f(α)=1.3.
3) On admet que l'équation f(x)=0, admet deux solutions x0 et x1 avec x0∈]12 ; 2[ et x1∈]72 ; 4[.
a. Étudier les branches infinies à (C).
b. Tracer la courbe (C).
4) Tracer la courbe (C′) de la fonction h définie par h(x)=−f(x) dans le même repère que (C).
Exercice 4
X]−∞ ; x1[[x1 ; x2[[x2 ; x3[…[xn ; +∞[F(X)0P1P1+P2…P1+P2+…+Pn
Où Pi est la probabilité associée à la valeur xi.
Soit la fonction de répartition F d'une variable aléatoire X, définie par le tableau ci-après
X]−∞ ; 2[[2 ; 3[[3 ; 4[[4 ; 5[[5 ; +6[[6 ; +∞F(X)016524724131
1) Donner les valeurs exactes prises par X.
2) Établir la loi de probabilité de X.
3) Calculer l'espérance mathématique E(X).
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