Bac Maths D, Congo 2016

Dans le plan complexe $\mathbb{C}$ muni d'un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$, on considère l'application $S$ définie par : $$Z'=(1+\mathrm{i})Z$$

1) Déterminer la nature, le rapport et l'angle de l'application $S.$

2) Soit le point $A$ d'affixe $Z_{A}=2\mathrm{i}.$

Déterminer les affixes des points $B$ et $C$ définis par $S(A)=B$ et $S(B)=C.$

3) Placer les points $A$, $B,$ et $C$ dans un repère du plan.

4) Soit le point $I$ milieu du segment $[OC].$

Montrer que le triangle $ABI$ est rectangle et isocèle en $B.$

5) Écrire une équation de troisième degré dont les affixes $Z_{A}$, $Z_{B}$ et $Z_{C}$ définies ci-dessus sont solutions.

L'espace vectoriel $\mathbb{R^{2}}$ est rapporté à sa base canonique $B=(\vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R^{2}}$ défini dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j})$ par :  $$f(\vec{j})=3\vec{i}-2\vec{j}\quad\text{et}\quad f\circ f(\vec{j})=\vec{j}$$

1) Calculer $f(i)$ et $f\circ f(\vec{i}).$

2) En déduire la nature de l'application $f.$

3) a. Qu'est-ce qu'un automorphisme ?

b. Prouver que $f$ est un automorphisme involutif.

c. Caractériser l'application $f.$

4) Soit les vecteurs $\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}$  et  $\vec{v}=-3\vec{i}+\vec{j}.$

a. Montrer que $B'=(\vec{u}\ ;\ \vec{v})$ est une base de $\mathbb{R^{2}}.$

b. Écrire la matrice de $f$ dans la base $B'.$

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d'unité graphique $1\,cm$, on considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par :  $$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}.$$

On note $(\mathcal{C})$, la courbe de $f$ dans le plan.

1) Calculer les limites de $f$ en $0$ à droite et en $+\infty.$

2) Déduire que la fonction $f$ admet deux asymptotes que l'on précisera.

3) a. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$, on a : $$f'(x)=-\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(\mathrm{e}^{x}-1)^{2}}$$

b. Donner le sens de variation de $f.$

c. Dresser son tableau de variation.

4) Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ ainsi que ses asymptotes.

5) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par : $g(x)=-f(x).$

Construire la courbe $(\mathcal{C'})$ de $g$ dans le même repère que $(\mathcal{C}).$

6) Calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la portion du plan délimitée par les courbes $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C'})$, et les droites d'équations $x=1$ et $x=2.$

Soit le tableau statistique à double entrée :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\diagdown Y&0&1&2\\ \hline -1&1&m&1\\ \hline 1&1&0&2\\  \hline 2&2&3&n\\ \hline \end{array}$$          

1) Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$ en fonction de $n$ et $m.$

2) Déterminer $m$ et $n$ sachant que le point moyen du nuage statistique est $G(1\ ;\ 1).$

3) On pose $m=1$ et $n=1.$

a. Déterminer l'équation de la droite de régression linéaire de $Y$ en $X$ sachant que la covariance de $X$ et $Y$ est égale à $-\dfrac{1}{12}$, la variance de $X$ est $\dfrac{1}{2}$ et celle de $Y$ est $\dfrac{1}{6}.$

b. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y.$