Bac Maths D, Congo 2014

1) Qu'appelle-t-on conjugué d'un nombre complexe ?

2) Résoudre dans l'ensemble $\mathcal{C}$ des nombres complexes, l'équation $(E)\ :\ Z^{3}=1.$

On donnera les résultats sous forme algébrique.

3) Montrer que les solutions non réelles sont conjuguées entre elles.

4) Montrer que $Z_{1}=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ est solution de l'équation $(E')\ :\ Z^{3}=8.$

5) Soit $Z'_{0}$, $Z'_{1}$ et $Z'_{2}$ les solutions de $(E')$ où $Z'_{1}$ et $Z'_{2}$ sont deux complexes conjugués.  

a. Utiliser les solutions de $(E)$ pour déduire les solutions de l'équation $(E').$

b. Montrer que $\dfrac{Z'_{1}}{Z'_{2}}$ est solution de $(E).$

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R^{3}}$ de base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\  \vec{k})$ qui associe à tout élément $(x\ ;\ y\ ;\ z)$ de $\mathbb{R^{3}}$, l'élément $(x'\ ;\ y'\ ;\ z')$ de $\mathbb{R^{3}}$ défini par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'&=&y+z\\ y'&=&x+y+z\\  z'&=& x \end{array}\right.$$
                                           
1) Déterminer $f(\vec{i})$, $f(\vec{j})$ et $f(\vec{k})$ dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$ de $\mathbb{R^{3}}.$

2) Déduire la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k}).$

a. Quelles conditions faut-il remplir pour qu'un ensemble $\mathcal{E}$ soit un sous espace vectoriel de $\mathbb{R^{3}}$ ?

b. Montrer alors que l'ensemble $H=\{(x\ ;\ y\ ;\ z)\in\mathbb{R^{3}}\setminus x-y+z=0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R^{3}}.$

3) Déterminer le noyau de $f$ et en donner une base $\left(\vec{\mathrm{e_1}}\right).$

4) Déterminer l'image de $f$, puis en donner une base $\mathcal{B}=\left(\overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{3}}}\right).$

Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O\; ,\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ})$, on considère la fonction $g$ de la variable réelle $x$, définie par : $$g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}-x$$
 
1) Préciser l'ensemble de définition de $g.$

2) Déterminer $g'(x)$, la fonction dérivée de $g$ puis en déduire son signe.

3) Dresser le tableau de variation de $g.$

4) Démontrer que l'équation $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}=x$ admet une solution unique $\alpha\in]−\infty\ ;\ +\infty[.$

5) Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé $(O\;,\ \overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ}).$

Unité graphique $2\,cm.$

a. Montrer que pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}$, $h'(x)>0.$

b. Dresser le tableau de variation de $h.$

c. En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $0\leq h(x)\leq 1.$

6) On définit la suite $\left(u_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}&=&0\\  u_{n+1}&=&h\left(u_{n}\right) \end{array}\right.$$

a. Démontrer en utilisant le raisonnement par récurrence que $\left(u_{n}\right)$ est majorée par $1.$

b. Démontrer en utilisant le raisonnement par récurrence que $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

c. En déduire la convergence de $\left(u_{n}\right)$, puis montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\alpha$

On considère la série statistique $(x\ ;\ y)$ définie par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x\diagdown y&1&3\\ \hline -1&1&2\\ \hline 0&0&\alpha\\  \hline 2&2&2\\ \hline \end{array}$$

1) Déterminer les séries marginales de $x$ et $y.$

2) Déterminer le réel a pour que l'on ait $G\left(\dfrac{1}{6}\ ;\ 2\right)$ où $G$ désigne le point moyen de la série $(x\ ;\ y).$

3) On donne $\alpha=1.$

Calculer la variance de $x$, la variance de $y$ et la covariance de la série $(x\ ;\ y).$