BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2004

Reunion_juin2004_retour

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de
Fermat : \og soit $p$ un nombre premier et $a$ un entier naturel premier
avec $p$ ; alors $a^{p-1} - 1$ est divisible par $p$ \fg{}.

 Soit $p$ un nombre premier impair.

    
         Montrer qu'il existe un entier naturel $k$, non nul, tel que
$2^k \equiv 1 \quad  [p]$.

         Soit $k$ un entier naturel non nul tel que $2^k \equiv 1 \quad  [p]$ et
soit $n$ un entier naturel. Montrer que, si $k$ divise $n$, alors $2^n
\equiv 1 \quad [p]$.

         Soit $b$ tel que $2^b \equiv  1 \quad [p],~ b$ étant le plus petit entier
non nul vérifiant  cette propriété.

Montrer, en utilisant la division euclidienne de $n$ par $b$, que si
$2^n \equiv  1\quad  [p]$, alors $b$ divise $n$.

 Soit $q$ un nombre premier impair et le nombre $A = 2^q- 1$.

 On prend pour $p$ un facteur premier de $A$.

    
          Justifier que : $2^q  \equiv 1 \quad [p]$.

         Montrer que $p$ est impair.

         Soit $b$ tel que $2^b \equiv 1 \quad  [p],~ b$ étant le plus petit entier non nul
vérifiant cette propriété.

Montrer, en utilisant {1.} que $b$ divise $q$. En déduire que $b = q$.

         Montrer que $q$ divise $p - 1$, puis montrer que $p \equiv  1 \quad  
[2q]$.

 Soit $A_{1} =  2^{17} - 1$. Voici la lisle des nombres premiers inférieurs à 400 et qui
sont de la forme $34m + 1$, avec $m$ entier non nul : 103, 137, 239, 307. En déduire que  $A_{1}$ est premier.