Bac Maths D, Union des Comores 2016

Exercice 1  

Une urne contient dix jetons, chacun de forme identique.

Cinq jetons portent le numéro 1, trois jetons le numéro 2 et deux jetons le numéro 3.

L'expérience consiste à tirer au hasard de l4 urne, successivement, sans remise, trois jetons.  

Ceux-ci sont alignés de gauche à droite de façon à obtenir un nombre de trois chiffres.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

1. a) Calculer la probabilité de l'évènement A : « obtenir le nombre 123 ».

b) Soit l'évènement B : « Obtenir un nombre dont les trois chiffres sont deux à deux distincts ».

Montrer que P(B)=6×P(A).

2. Calculer les probabilités des évènements C, D et E suivant :  

a) C : « Obtenir le nombre 111 »

b) D : « Obtenir le nombre 112 »

c) E : « Obtenir le nombre 122 »

3. On définit la variable aléatoire X, qui est la somme des chiffres du nombre obtenu.  

a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X.

b) Déterminer la loi de probabilité et la fonction de répartition de cette variable aléatoire.

c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté au repère directe (O ; u ; v), placer les points A, B et C d'affixes respectives : ZA=4ZB=2+2i et ZC=2.

1. a) Écrire les nombres complexes ZA ; ZB et ZC sous forme trigonométrique.

b) Trouver la forme algébrique du nombre complexe : ZBZCZAZC.

En déduire la nature du triangle ABC.

2. Soit R la rotation de centre O et d'angle de mesure π3.

a) Déterminer l'écriture complexe de la rotation R.

b) Trouver les affixes ZA ; ZB et ZC des points A ; B et C images respectives des points A, B et C par la rotation R (on vérifiera que ZB=(13)+i(13)).

3. Démontrer que : ZBZC=eiπ2(ZAZC).
 
En déduire la nature du triangle ABC.
 
4. Déterminer une équation cartésienne de l'image de la droite (AC) par la rotation R.

Problème 

A. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +[ par g(x)=lnx+3x+2x2
 
1. Déterminer les limites de g en 0 et en +.

2. a) Étudier le sens de variation de g.

c) Dresser le tableau de variation de g.  

3. a) Démontrer que l'équation g(x)=0 a une seule solution notée α sur ]0 ; +[.

b) Déterminer l'entier naturel n tel que n10αn+110

c) En déduire le signe de g(x).
 
B. F est la fonction définie sur ]0 ; +[ par :$$f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(\lnx-\dfrac{2}{x}\right)$
 
On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}).$

L'unité graphique 1cm sur (Ox) ; 5cm sur (Oy).
 
1. a) Déterminer les limites  de f en 0 et en +.
 
Pour calculer la limite de f en + on pourra remarquer que :
 
Pour tout x>0 ; f(x)=(lnxx)(xex)2xex

b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. a) Calculer la dérivée f de f et vérifier que : pour tout x>0 ; f(x)=exg(x).

b) En déduire le sens de variation de f.

c) Dresser le tableau de variation de f.

3. a) Montrer que (α)=(α+2α2)eα.

b) Tracer la courbe (C), on prendra α=3.2.

C. On considère la suite (Un) définie pour tout n0 par : Un=10xn+1exdx.

1. Calculer U0 à l'aide d'une intégration par parties.

2. a) Trouver une relation entre Un+1 et Un.

b) En déduire les valeurs de U1 et U2.

3. Montrer que pour tout n0.
1n+2Unnx+2

4. En déduire la convergence de (Un).

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