Bac Maths D, Union des Comores 2014

On rappelle que : $n\,!=n(n-1)(n-2)\ldots\times 2\times 1$ et $A^{p}_{n}=\dfrac{n !}{(n-p)!}.$

En utilisant la notion factorielle, donner une autre écriture de $N=7\times 6 \times 5.$

1. Soit l'équation $A4n−5^{n}_{4n-5}=210.$

a) Pour quelle valeur de $n$ cette équation est-elle définie ?  

b) Résoudre dans $\mathbb{N}$ cette équation.

2. Une urne contient $3$ boules blanches et $4$ boules rouges indiscernables au toucher.  

On tire successivement et sans remise $3$ boules de l'urne.

Calculer les probabilités des évènements suivants :  

$A$ : « Obtenir une boule blanche pour la première fois au troisième tirage »

$B$ : « Ne pas obtenir consécutivement $2$ boules de la même couleur »

$C$ : « Ne pas obtenir $3$ boules de la même couleur » $3.$

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de $3$ boules associe le nombre $3^{n}$ où $n$ désigne le nombre de boule blanche obtenu.

a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $X.$

b) Donner la loi de probabilité de $X.$

c) Calculer l'espérance mathématique de $X.$    

Le plan $\mathcal{P}$ est muni du repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d'unité $1\,cm.$

On considère les points $A$, $B$ et $I$ d'affixes respectives :    

$Z_{A}=1-\mathrm{i}$ ; $Z_{B}=−2+2\mathrm{i}$ et $Z_{I}=\dfrac{-2+k}{2}+2\mathrm{i}(k\in\mathbb{N}).$
                                        
1. Déterminer l'affixe du point $C$ symétrique de $B$ par rapport à $I.$

2. a) Calculer $AB$, $AC$ et $BC.$

b) Déterminer $k$ pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A.$

c) Faire une figure.

3. On définit le point $D$ par $-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=0.$

Calculer $Z_{D}.$

4. Soit $h$ l'application de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$, qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que :
$$\overrightarrow{MM'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}.$$
 
a) Montrer que $h$ est une homothétie dont on précisera les éléments caractéristiques.

b) Donner l'écriture complexe de $h.$

c) On pose $h(B)=B'$ et $h(C)=C'.$

Calculer $Z_{B}'$ et $Z_{C}'.$

1. Résoudre sur $\mathbb{N}$ l'équation différentielle :
$$(E)\ :\ Y''+2Y'+Y=0$$

2. Déterminer la solution $U$ de $(E)$ satisfaisant aux conditions initiales :  $U(0)=1$ et $U(−1)=0$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $f(x)=-1-(x+2)\mathrm{e}^{-x}.$

On désigne par $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $($Unité graphique : $1\,cm)$

1. Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2. Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}.$

Quelle est la conséquence graphique ?

3. Étudier le sens de variation de $f.$

4. Dresser le tableau de variation.

5. a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $[-3\ ;\ -2]$ une solution unique $\alpha.$

b) Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

c) Tracer la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right).$

6. On pose : $$I=\int^{\alpha}_{-3}(x+2)\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x$$  

a) Calculer $I$ à l'aide d'une intégration par parties.

b) En déduire l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de la partie du plan délimitées par la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=-3$ et $x=\alpha.$

$($cette partie est indépendante de $A$ et $B)$

Soit $U_{n}$, la suite numérique définie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par :  
$$U_{n}=\dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}\dfrac{1}{3\times 4}+\ldots+\dfrac{1}{n(n+1)}=\sum^{n}_{k=1}\dfrac{1}{k(k+1)}$$
                              
1. Calculer $U_{1}$ et $U_{2}.$

2. a) Trouver une relation entre $U_{n+1}$ et $U_{n}.$

b) En déduire le sens de variation de $U_{n}.$

3. a) Démontrer par récurrence que pour tout $n\geq 1$ ; $U_{n}=\dfrac{n}{n+1}.$
 
b) En déduire $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}U_{n}.$