Bac Maths D, Union des Comores 2010

Soit $\alpha=\dfrac{-4b+a\mathrm{i}}{5+3\mathrm{i}}$ $(a$ et $b$ des réels$)$ et $\beta$ le nombre complexe de module $1^{er}$ d'argument $\dfrac{3\pi}{4}.$

1. a) Donner la forme algébrique de $\alpha$ en fonction de $a$ et $b.$

b) Écrire $\beta$ sous forme algébrique.

c) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $\alpha=\beta.$
 
2. Lorsque $a=\sqrt{2}$ et $b=\sqrt{2}$, calculer $\alpha^{12}+\alpha^{16}.$

3. Le plan complexe $(\mathcal{P})$ est rapporté au repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}).$

On considère le point $A$ d'affixe $z_{A}=\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}.$

Déterminer et construire l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tel que :  $$|\mathrm{i}\sqrt{2}z+2-2\mathrm{i}|=3\sqrt{2}.$$

4. On considère l'application $f$ de $(\mathcal{P})$ dans $(\mathcal{P})$ qui à tout $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'=\beta z.$

a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f.$

b) Déterminer l'affixe du point $A'$ image de $A$ par $f.$

c) Déterminer et construire l'ensemble $(E')$ image de $(E)$ par $f.$

On considère un dé cubique pipé, dont les faces sont numérotées de $1$ à $6.$

Un jeu consiste à lancer le dé.

On note $p$ la probabilité d'apparition de la face marquée $\mathrm{i}.$

1. a) Sachant que $p_{1}$ ; $p_{2}$ ; $p_{3}$ ; $p_{4}$ ; $p_{5}$ et $p_{6}$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{30}.$

Montrer que $p_{1}=\dfrac{1}{12}.$

b) Déduis les probabilités $p_{2}$ ; $p_{3}$ ; $p_{4}$ ; $p_{5}$ et $p_{6}.$
 
2. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondante au numéro marqué sur la face supérieure du dé.

a) Déterminer la loi de probabilité de ma variable $X.$

b) Calculer l'espérance mathématique de $X.$

3. Cette fois-ci on lance $n$ fois de suite le même dé $(n>1).$

a) Exprimer, en fonction de $n$ la probabilité $p_{n}$ d'obtenir au moins une fois la face marquée $1.$

b) Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $p_{n}\geq 0.99.$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $$g(x)=x^{2}-2\ln x+2$$

1. Calculer $g'(x)$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$, et dresser le tableau de variation de $g.$

2. Préciser le signe de $g.$

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{a \ln x}{x}+bx+c.$

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ pour que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x-1$ soit asymptote à la courbe représentative $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ de la fonction $f$ et que la tangente $(T)$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point $I$ d'abscisse $1$ soit parallèle à la droite $(\Delta)$ d'équation : $y=3x.$

On considère maintenant la fonction $h$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $$h(x)=\dfrac{2\ln x}{x}+x-1.$$

1. a) Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $h'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}.$

En déduite la signe de $h'(x).$

b) calculer $\lim\limits_{x\rightarrow 0}h(x)$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

c) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}h(x).$

d) Dresser le tableau de variation de la fonction $h.$

2. On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $h.$

a) Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une asymptote oblique dont on précisera une équation et étudier sa position relative par rapport à $(\mathcal{C}).$

b) Construire la courbe $(\mathcal{C}).$

3. a) En remarquant que $\dfrac{\ln x}{x}$ peut s'écrire $\dfrac{1}{x}(\ln x)$ déterminer une primitive de la fonction $x\rightarrow\dfrac{2\ln x}{x}$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$

b) Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en $cm^{2}$, de portion de plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x-1$ et les droites d'équation : $x=1$ et $x=\mathrm{e}.$