BAC S SPECIALITE Antilles septembre 2003
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Soit l'équation (1) d'inconnue rationnelle x :
78x3+ux2+vx−14=0.
où u et v sont des entiers relatifs.
On suppose dans cette question que 1439 est solution de
l'équation (1).
Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation 14u+39v=\np1129.
Utiliser l'algorithme d'Euclide, en détaillant les diverses étapes du calcul,
pour trouver un couple (x ; y) d'entiers relatifs vérifiant l'équation
14x+39y=1.
Vérifier que le couple (−25 ; 9) est solution de cette équation.
En déduire un couple (u0 ; v0) solution particulière de l'équation 14u+39v=\np1129.
Donner la solution générale de cette équation c'est-à-dire l'ensemble des
couples (u ; v) d'entiers relatifs qui la vérifient.
Déterminer, parmi les couples (u ; v) précédents, celui pour lequel le nombre u est l'entier naturel le plus petit possible.
Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.
En déduire, dans \N, l'ensemble des diviseurs de 78 et l'ensemble des diviseurs de 14.
Soit PQ une solution rationnelle de l'équation (1) d'inconnue x :
78x3+ux2+vx−14=0oùuetvsont des entiers relatifs.
Montrer que si P et Q sont des entiers relatifs premiers entre
eux, alors P divise 14 et Q divise 78.
En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant
être solutions de l'équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l'ensemble
de ceux qui sont positifs.
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