Bac Maths D, Tchad 2016

Exercice 1 

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ L'équation ∶ $$z^{2}-(1+\sqrt{2})z+\sqrt{2}=0.$$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ L'équation ∶ $$z+\dfrac{1}{z}=1\quad\text{et}\quad z+\dfrac{1}{z}=\sqrt{2}$$                             

3. Soit $P(z)$ le polynôme défini par : $$P(z)=z^{4}(1+\sqrt{2})z^{3}+(2+\sqrt{2})z^{2}-(1+\sqrt{2})z+1$$
 
a) Exprimer $\dfrac{P(z)}{z^{2}}$ en fonction de $U=z+\dfrac{1}{z}$
                                                                            
b) Résoudre $\dfrac{P(z)}{z^{2}}=0$  

Exercice 2 

$\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}$  est une suite définit par ∶ $$U_{1}=2\quad\text{et}\quad U_{n+1}=2U_{n}-\dfrac{1}{3}$$
                                      
1. Déterminer le réel $a$ tel que la suite $V_{n}=U_{n}-a$ soit une suite géométrique.

2. Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$, puis $U_{n}$ en fonction de $n.$

3. Exprimer $S_{n}=U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{n}$ en fonction de $n.$

4. Calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$ et celle de la suite $\left(S_{n}\right)$

Problème

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par ∶ $$f(x)=x-1+2\dfrac{\ln x}{x}$$
                                    
On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan $($unité : $2\,cm).$

1. Soit $g$ la fonction définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par ∶ $$g(x)=x^{2}+2 -2\ln x$$

a) Étudier les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$

b) Étudier les variations de $g$ sur $]0\;,\ +\infty[$ et dresser le tableau de variation

c) Déduire de ce qui précède le signe de $g$ sur $]0\;,\ +\infty[$  

2. a) Étudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$

b) Justifier que $f$ est dérivable sur $]0\;,\ +\infty[$, déterminer la dérivée $f'$ de $f$ sur $]0\;,\ +\infty[$ et montrer que : $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$
                                                                                                                                              
c) Vérifier que $f'$ a le même signe que $g$ sur $]0\;,\ +\infty[$

d) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $]0\;,\ +\infty[$   

e) Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x-1$ est une asymptote à $(\mathcal{C}).$

f) Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D}).$

g) Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ de $(\mathcal{C})$ au point d'intersection de $(\mathcal{C})$ et de $(\mathcal{D}).$

h) Tracer $(\mathcal{D})$, $T$ et $(\mathcal{C}).$

3. On désigne par $h$ la fonction définie  sur $]0\;,\ +\infty[$ par ∶ $h(x)=(\ln x)^{2}$  

a) Calculer $h'(x).$

b) $Α$ étant un réel donné strictement supérieur à $1$, calculer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de la partie du plan limitée par $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{D})$

c) Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\mathcal{A}(\alpha).$