Bac Maths D, Tchad 2017

 Exercice 1

On considère l'application $f$ définie par ∶ $$f(z)=z^{3}+9\mathrm{i}z^{2}+2(6\mathrm{i}-11)z-3(4\mathrm{i}+12)$$
1. a) Démontrer que l'équation $f(z)=0$ admet une solution réelle $z_{1}$

b) Déterminer un polynôme du second degré $P$ à coefficients complexes tels que, pour tout $z\in\mathcal{C}\ :\  f(z)=\left(z-z_{1}\right)P(z)$  

2. a) Démontrer que l'équation $f(z)=0$ admet une solution imaginaire pur $z^{2}$ $($on notera $z_{3}$ la solution différente de $z_{1}$ et $z_{2}).$

b) Résoudre l'équation $f(z)=0$

3. Dans le pan complexe $\mathcal{P}$, on considère les points $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ Montrer que ces trois points sont alignés.

Exercice 2

On considère la suite $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ définie par récurrence, par ∶  
$$U_{0}=0\quad\text{et}\quad U_{n+1}=\dfrac{3U_{n}-4}{U_{n}-1}$$
1. a) Démontrer, en raisonnant par récurrence, que cette suite est minorée par $2.$
 
b) Prouver que pour tout $n$, et $U_{n+1}-U_{n}=\dfrac{\left(U_{n}-2\right)^{2}}{U_{n}-1}$                                                           

En déduire le sens de variation de cette suite

c) Justifier que cette suite est convergente.

d) Justifier qu'elle converge vers $2.$

2. On considère la suite $\left(V_{n}\right)\in\mathbb{N}$ définie par :   $$V_{n}=\dfrac{1}{U_{n}-2}$$
a) Démontrer que cette suite est arithmétique.

b) Donner l'expression de $V_{n}$ puis celle de $U_{n}$ en fonction de $n$.

3. On considère la suite $\left(W_{n}\right)n\in\mathbb{N}$  telle que  $W_{n}=\ln U_{n}$

a) Justifier qu'elle converge vers $\ln 2$
 
b) Prouver que la suite $\left(W_{n}\right)$ est décroissante.
 
c) Résoudre dans $\mathbb{N}$, l'inéquation $\left|W_{n}-\ln 2\right|< 10^{-2}$

Problème  

Partie A

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par ∶ $$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}-\dfrac{1}{2}$$
Sa représentation graphique dans un repère orthonormal est notée $(\mathcal{C}).$

1. Déterminer les limites de $f$ en $−\infty$ et en $+\infty.$

Les interpréter graphiquement.

2. Étudier la variation de $f.$

3. Démontrer que cette fonction est impaire.

Qu'en déduit-on de $(\mathcal{C}).$

4. Déterminer le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x.$

Partie B

On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par ∶   
$$g(x)=\ln(\mathrm{e}^{x}+1)-\dfrac{1}{2}x$$
Sa représentation graphique dans un repère orthonormal est notée $\left(\mathcal{C_{g}}\right).$
 
1. Prouver que pour tout $x$, $$g(x)=\ln\left(+\mathrm{e}^{-\dfrac{x}{2}}\right)+\dfrac{1}{2x}=\ln\left(\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}+\mathrm{e}^{-\dfrac{x}{2}}\right)$$          
Dans la suite, il faudra mieux choisir la forme la plus commode de $g(x).$

Parmi les trois formes vues, pour parvenir aux réponses demandées.

2. Vérifier que $g'(x)=f(x)$ et en déduire les variations de $g.$

3. a) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$

b) Prouver qu'en $+\infty$, la droite $\mathcal{D}\ :\ y=\dfrac{1}{2}x$ est asymptote à $\left(\mathcal{C_{g}}\right).$  

c) Étudier la position relative de $\left(\mathcal{C_{g}}\right)$ par rapport à $(\mathcal{D}).$

d) Démontrer que la fonction $g$ est paire.

Qu'en déduit-on pour $\left(\mathcal{C_{g}}\right)$ ?

En déduire l'équation de l'asymptote oblique à $\left(\mathcal{C_{g}}\right)$ en $−\infty$  

e) Faire le dessin de $\left(\mathcal{C_{g}}\right)$ avec ses asymptotes.