BAC S SPECIALITE Pondichéry juin 2003

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Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

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{Première partie}

ABC est un triangle direct du plan orienté.

On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA].

Soit $\alpha$ un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raisonnera. Cette figure sera jointe à la copie.

d$_{1}$ est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle $\alpha$.

d$_{2}$ est l'image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d'angle $\alpha$.

d$_{3}$ est l'image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d'angle $\alpha$.

A$_{1}$ est le point d'intersection de d$_{1}$ et d$_{3}$, B$_{1}$ celui de d$_{1}$ et d$_{2}$ et C$_{1}$ celui de d$_{2}$ et d$_{3}$.


 On appelle H le point d'intersection de (BC) et d$_{1}$. Montrer que les triangles HIB et HB$_{1}$J sont semblables.

 En déduire que les triangles ABC et A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$ sont semblables.



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{Deuxième partie}
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

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{ A - Construction de la figure}


 Placer les points A($- 4 - 6\text{i}$), B(14),
C($-4 + 6\text{i}$), A$_{1}(3 - 7\text{i}$), B$_{1}(9 + 5\text{i}$)
et C$_{1}(- 3 - \text{i}$).

 Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.

 Montrer que A$_{1}$, I, B$_{1}$ sont alignés.

On admettra que } B$_{1}$, J, C$_{1}$ d'une part et} C$_{1}$, K, A$_{1}$ d'autre part sont alignés.}

  Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{IB}},~\vect{\text{IB}_{1 \right)$.

 On admettra que }
$\left(\vect{\text{KA}},~\vect{\text{KA}_{1 \right) = \dfrac{\pi}{4}$ et que}
$\left(\vect{\text{JC}},~\vect{\text{JC}_{1 \right) = \dfrac{\pi}{4}$.

 Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle  $\dfrac{\pi}{4}$ ?



\vspace{0,25cm}

{B - Recherche d'une similitude directe transformant ABC en A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$}

On admet qu'il existe une similitude directe $s$ transformant les points A,  B et  C en A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$.


  Montrer que l'écriture complexe de $s$ est $z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z + 2 - 2\text{i}$, où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un
point et de son image par $s$.

 
    
         Déterminer le rapport et l'angle de $s$.

         Déterminer l'affixe du centre $\Omega$ de $s$.

    

 Que représente le point $\Omega$ pour ABC ?



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$$\begin{center}Le candidat joindra cette figure à sa copie      \vspace{0,8cm}      \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(14,11) \psline(3,3.8)(11.3,3.8)(5.1,9.65)(3,3.8) \psline(0,1.1)(14,6.3) \psline(14,4.2)(0,10.2) \psline(4.2,0)(4.2,11) \uput[dl](3,3.8){A} \uput[dr](11.3,3.8){B} \uput[u](5.1,9.65){C} \uput[dl](4.2,2.7){A$_{1}$} \uput[u](11.4,5.3){B$_{1}$} \uput[ul](4.2,8.5){C$_{1}$} \uput[d](7.15,3.8){I} \uput[ur](8.2,6.725){J} \uput[l](4.2,6.9){K} \uput[u](13,6){d$_{1}$} \uput[u](2,9.2){d$_{2}$} \uput[r](4.2,1){d$_{3}$} \psarc(7.15,3.8){1.1}{0}{21} \psarc(8.2,6.725){1}{139}{162}  \psarc(4.2,6.725){1}{246}{270} \uput[u](8.45,3.8){$\alpha$} \uput[u](7.2,7.2){$\alpha$} \uput[u](3.8,5){$\alpha$} \end{pspicture} \end{center}$$