Bac Maths D, Tchad 2015

Exercice 1

Soit P le polynôme défini par ∶ P(z)=z32(1+2i)z2+7iz+3(13i)

1. Démontrer qu'il existe une imaginaire pure z1=ib solution de l'équation P(z)=0

2. Déterminer le polynôme Q tel que P(z)=(ZZ1)Q(z)

3. Résoudre dans C l'équation P(z)=0.

Exercice 2

1. Quelle est la probabilité de pouvoir constituer le drapeau du Tchad :

a) En prenant simultanément 3 cubes ?

b) En prenant simultanément 4 cubes ?

2. Quelle est la probabilité, en prenant successivement 3 cubes l'un après l'autre sans remise, d'obtenir dans l'ordre le drapeau du Tchad ?

3. Quelle est la probabilité, en prenant successivement 3 cubes l'un après l'autre avec remise, d'obtenir dans l'ordre le drapeau du Tchad ?

Problème

Partie A

Soit g la fonction définie sur ]0, +[ par ∶ g(x)=2+3x36lnxx3
                                
1. Déterminer les limites de g en 0 et en +

2. Étudier les variations de g et dresser son tableau de variation et en déduire pour tout x>0, g(x)>0

Partie B

Soit f la fonction définie sur ]0, +[ par ∶ f(x)=2x+3lnxx3
                                                                                                                             
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité graphique : 2cm).

1. a) Calculer la dérivée de f et préciser sons sens de variation (on remarquera que la dérivée première de f donne g).

b) Calculer les limites de f en 0 et en +

c) En déduire le tableau de variation de f.

2. a) Démontrer que la droite (D) d'équation y=2x est asymptote à la courbe de f et préciser sa position par rapport à cette courbe.  

b) Préciser les ordonnées des points d'abscisses 0.5 ; 1 ; 2 et 3.

c) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique racine α[0.5 ; 1]  

3. Tracer (C)

4. Calculer l'aire du domaine plan compris entre la droite (D) et la courbe (C) et les droites d'équations : x=1 et x=e.

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