Bac Maths D, Tchad 2012

A la suite de plusieurs campagnes de vaccination réalisée dans un village du Tchad, les études ont révélé que la probabilité qu'un enfant de moins de $5$ ans soit atteint de poliomyélite est $0.05.$

On choisit au hasard un enfant de moins de $5$ ans de ce village.

a) Quelle est la probabilité pour que cet enfant ne soit pas atteint de poliomyélite ?

b) On a effectué un contrôle sur $8$ enfants âgés de moins de $5$ ans de ce village.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

$A$ : " aucun enfant n'est atteint de poliomyélite "

$B$ :  "$3$ enfants sont atteints de poliomyélite "

$C$ : "au moins $4$ enfants sont atteints de poliomyélite "

Soit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes et $(\mathcal{O})$ le plan complexe.

a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ :\ z^{3}+\mathrm{i}=0$, (on donnera les solutions sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique).

b) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\left(E_{1}\right)\ :\ [(1-\mathrm{i})z]^{3}+\mathrm{i}=0$, (on donnera les solutions sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique).

c) Représenter dans le plan complexe, les points $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ dont les affixes sont solutions de l'équation $\left(E_{1}\right).$

I. Soit $\Phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=\mathrm{e}^{x}+x+1$

1. Étudier les variations de $\varphi$ et ses limites en $+\infty$ et $−\infty$

2. Montrer que l'équation $\varphi(x)=0$ a une unique solution $\alpha$ et que  $−1.28<\alpha<-1.27$

3. En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\mathbb{R}$

II. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}.$$  

$(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\  \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité : $4\,cm)$
   
1) Montrer que $f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}\varphi(x)}{\mathrm{e}^{x}+1})^{2}.$  

En déduire le sens de variation de $f.$   

2) Montrer que $f(\alpha)-\alpha+1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha)$

3) Soit $(T)$ la tangente à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0.$

Donner une équation de $(T)$ et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(T).$

4) Calculer les limités de $f$ en $+\infty$ et $-\infty.$

Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ et étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D}).$

5) Dresser le tableau de variation de $f.$

6) Tracer dans un même repère $(T)$, $(\mathcal{D})$, $(\mathcal{D})$ en faisant apparaitre les points de $(\mathcal{C})$ dont les abscisses appartiennent à $(-2\;,\ 4).$