Bac Maths D, Tchad 2010

On désigne par $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.

Soit le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ tel que : $$P(z)=z^{3}+z^{2}+(-5+4\mathrm{i})z-21-12\mathrm{i}$  

1. Calculer $P(3)$ et mettre $P(z)$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0.$

3. Dans le plan complexe soit les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectifs $3$ ; $1-2\mathrm{i}$ ; $3+2\mathrm{i}$

Déterminer la similitude plane directe de centre $A$ qui transforme $B$ en $C.$

On considère la variable aléatoire $X$ dont la loi de probabilité est donnée comme suit :
$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline X=x_{i}&1&2&3\\ \hline  P\left(X=x_{i}\right)&\dfrac{1}{4}&\alpha-\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{4}\\ \hline \end{array}$$

1. Calculer la valeur de $\alpha$

2. Calculer :

a) L'espérance mathématique de $X$

b) La variance de $X$

c) L'écart type de $X$

1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par ∶  $$f(x)=\ln\left(\dfrac{1+x}{x}\right)-\dfrac{1}{1+x}$$

a) Déterminer la fonction dérivée de $f$ et étudier le sens de variation de $f.$

b) Calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$

c) Dresser le tableau de variation de $f$ et en déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$

d) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$

$($unité : $2\,cm).$

Tracer la courbe représentative de la fonction $f.$

2. On considère la fonction $g$ définie sur $[0\\;,\ +\infty[$ par ∶ $$g(x)=x\ln\left(\dfrac{1+x}{x}\right)$$
                                                          
a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g.$

Déduire de la partie 1) le sens de variation de $g$ sur $[0\;,\ +\infty[$  

b) Vérifier que $g(x)=h\circ k(x)$ avec $h$ et $k$ des  fonction  définie sur  $[0\;,\ +\infty[$ par :
$$h(x)=\ln\left(\dfrac{1+x}{x}\right)\quad\text{et}\quad k(x)=-\dfrac{1}{x}.$$  

En déduire la limite de $g$ en $+\infty$ et en $0$     

c) Dresser le tableau de variation de sur $[0\;,\ +\infty[$   

3. Soit $\alpha$ un nombre réel supérieur à $1.$

On note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire du domaine ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnées vérifient :  $1\leq x\leq\alpha$  et  $0\leq y\leq f(x)$  

a) Calculer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha.$

b) Déterminer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$