Bac Maths D, Tchad 2011

A. On considère l'équation $(E)\ ∶\ z^{3}-(4+\mathrm{i})z^{2}+(13+ 4\mathrm{i})z-13\mathrm{i}=0$, où $z$ est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe $\mathrm{i}$ est solution de cette équation.

2. Déterminer les nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe  
$$z\ :\ z^{3}-(4+\mathrm{i})z^{2}+(13+4\mathrm{i})z-13\mathrm{i}=(z-\mathrm{i})(az^{2}+bz+c)$$  

3. En déduire les solutions de l'équation $(E).$

B. Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, on désigne par $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $\mathrm{i}$, $2+3\mathrm{i}$ et $2-3\mathrm{i}$

1. Soit $r$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}.$

Déterminer l'affixe du point $A'$ image de $A$ par la rotation $r.$

2. Démontrer que les points $A'$, $B$ et $C$ sont alignés et déterminer l'écriture de l'homothétie de centre $B$ qui transforme $C$ en $A'.$

On considère la suite des nombres réels $\left(U_{n}\right)$ pour tout $n$ entier naturel, définie par : $U_{0}=2$ ; $U_{1}=2$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $U_{n+2}=\dfrac{3}{2}U_{n+1}-\dfrac{1}{2}U_{n}$
                                                    
Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite définie par ∶ $V_{n}=U_{n+1}-U_{n}$

1. Montrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique.

Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n.$

2. En déduire le terme général de la suite $\left(U_{n}\right)$ en fonction de $n$

3. Quelle est la limite de $U_{n}$ ?

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $[0\;,\ +\infty[$ par ∶ $$g(x)\dfrac{\ln(x+1)}{x}$$ si $x>0$
   
1. Justifier la dérivabilité de $g$ sur $[0\\;,\ +\infty[$ et démontre que pour tout réel $x>0$ :
$$g'(x)=\dfrac{h'(x)}{x^{2}}\quad\text{avec}\quad h(x)=\dfrac{x}{1+x}-\ln(1+x)$$

2. Déterminer les variations de $h$ sur $[0\;,\ +\infty[$ et en déduire celles de $g.$

3. Déterminer la limite de $g$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$

4. a) Démontrer que $g$ est continue sur $[0\;,\ +\infty[$
 
b) Démontrer que pour tout $x$ de $[0\;,\ +\infty[$ ;   $$x-\dfrac{x^{2}}{2}\leq\ln(1+x)\leq x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}$$
         
c) En déduire un encadrement de $\dfrac{\ln(x+1)-x}{x^{2}}$
                                                                                                   
d) Utiliser cet encadrement pour démontrer que $g$ est dérivable en $0$ et déterminer $g'(0).$

5. Dresser le tableau de variation de $g$ et construire la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de $g$ dans un plan rapporté au repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$