Bac Maths D, Maroc 2017

Exercice 1 

L'espace est muni d'un repère orthonormé direct (O, i, j, k).

On considère la sphère (S) d'équation : x2+y22x2y1=0 et le plan (P) d'équation ∶ yz=0.

1. a) Montrer que le centre de la sphère (S) est le point Ω(1 ; 1 ; 1) et son rayon est 2.

b) Calculer d(Ω, P) et en déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (C)

c) Déterminer le centre et le rayon de (C).

2. Soit (Δ) la droite passant par le point A(1, 2, 2) et orthogonale au plan (P).

a) Montrer que u(0, 1, 1) est un vecteur directeur de la droite (Δ).

b) Montrer que ||ΩAu||=2||u|| et en déduire que la droite (Δ) coupe la sphère (S) en deux points.

c) Déterminer les coordonnées de chacun des deux points de contact de la droite (Δ) et la sphère (S).

Exercice 2

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher : cinq boules blanches, trois boules rouges et deux boules vertes (voir figure ci-dessous)


 
On tire au hasard et simultanément quatre boules de l'urne.

1. Soit A l'évènement Parmi les quatre boules tirées, il y'a une seule boule verte seulement et B l'évènement Parmi les quatre boules tirées, il y'a exactement trois boules de même couleur.

Montrons que p(A)=815 et p(B)=1970
                                                                                       
2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules vertes tirées.

a) Montrer que p(X=2)=215
                                                                                                  
b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et montrer que l'espérance mathématique est égale à 45.

Exercice 3 

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C l'équation : z2+4z+8=0

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v), les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c tel que : a=2+2i, b=44i et c=4+8i

a) Soit z l'affixe d'un point M du plan et z l'affixe du point M image de M par la rotation R de centre A et d'angle π2.

Montrer que ∶ z=iz4

b) Vérifier que le point B est l'image du point C par la rotation R et en déduire la nature du triangle ABC.

3. Soit ω l'affixe du point Ω[BC].

a) Montrer que |cω|=6

b) Montrer que l'ensemble des points m d'affixe z tel que |zω|=6 est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Exercice 4 

On considère la suite numérique (Un) définie par :
 
U0=17 et Un+1=14Un+12 pour tout entier naturel n                                      

1. a) montrer par récurrence que : Un>16 pour tout entier naturel n                                       

b) Montrer que la suite (Un) est décroissante et en déduire qu'elle est convergente.

2. Soit (Vn) la suite numérique tel que : Vn=Un16 pour tout entier naturel n.

a) montrer que (Vn) est une suite géométrique.
 
b) Montrer que Un=16+(14)n pour tout entier naturel n puis déterminer la limite de la suite (Un)

c) Déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle Un<16.001.

Problème :

I. Soit g la fonction numérique définie sur R par ∶ g(x)=1(x+1)2ex

1. Vérifier que ∶ g(0)=0

2. A partir de la représentation graphique de la fonction g (voir figure ci-dessous).

Montrer que : g(x)0 pour tout x], 0] et que g(x)0 pour tout x[0, +[

II. On considère la fonction numérique f définie sur R par : f(x)=x+1(x2+1)ex

Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i j) (unité : 2cm).

1. a) Vérifier que ∶ f(x)=x+14(x2ex2)2ex pour tout réel x puis en déduire que limxf(x)=
 
Calculer limx[f(x)(x+1)] et en déduire que la droite (D) d'équation y=x+1 est une asymptote à la courbe (Cf) au voisinage de .

c) Montrer que la courbe (Cf) est au-dessous de la droite (D).

2. a) Montrer que limx+f(x)=

(On pourra écrire f(x) sous la forme x[1+1x(x+1x)ex])

b) Montrer que la courbe (Cf) admet au voisinage de + une branche parabolique dont on précisera la direction.

3. a) Montrer que f(x)=g(x) pour tout réel x.

b) Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle ], 0] et décroissante sur l'intervalle [0, +[ et dresser le tableau de variations de la fonction f sur R

c) Montrer que la courbe (Cf) possède deux points d'inflexion d'abscisses 3 et 1.

4. Construire, dans le même repère orthonormé (O, i j), la droite (D) et la courbe (Cf).

(on prendra f(3)2.5 et f(1)0.7)  

5. a) Vérifier que la fonction H : x(x1)ex est une fonction primitive de la fonction h : xxex sur R puis montrer que :
10xexdx=2e1

b) Montrer à l'aide d'une intégration par parties, que :
10(x2+1)exdx=3(12e)

c) Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (Cf), la droite (D), l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
 

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