Bac Maths D, Maroc 2019
Exercice 1
1. a) Vérifier que →AB∧→AC=→i−2→j−2→k
b) En déduire que x−2y−2y+7=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
2. Soient les points E(5 ; 1 ; 4) et F(−1 ; 1 ; 12) et (S) l'ensemble des points M vérifiant →ME⋅→MF=0
Montrer que (S) est la sphère de centre Ω(2 ; 1 ; 8) et de rayon R=5.
3. a) Calculer d (Ω ; (ABC)) distance du point Ω au plan (ABC).
b) En déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (Γ) de rayon r=4.
Exercice 2
b) On pose ∶ a=32+√32i ; écrire a sous forme trigonométrique
2. On considère le nombre complexe b=√22(1+i) ; vérifier que b2=i.
3. On pose ∶ h=cosπ12+isinπ12 ; montrer que ∶ h4+1=a
4. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O ; →u, →v), on considère le point B d'affixe b et R la rotation de centre O et d'angle π2.
a) Soit C l'affixe du point C image du point B par la rotation R.
Montrer que ∶ c=ib.
b) En déduire la nature du triangle OBC.
Exercice 3
On tire au hasard successivement et avec remise trois boules de l'urne.
Soient les évènements suivants :
A : les trois boules tirées sont de même couleur
B : il n'y a aucune boule blanche parmi les boules tirées.
C : il y a exactement deux boules blanches parmi les boules tirées.
1. Montrer que p(A)=16 et p(B)=828
2. Calculer p(C).
Problème
Première partie :
(C) la courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; →i, →j) (unité : 1cm).
1. a) Vérifier que limx→−∞f(x)=2 et interpréter le résultat géométriquement.
b) Vérifier que limx→0f(x)=+∞ et interpréter le résultat géométriquement.
2. a) Calculer limx→+∞f(x)
b) Montrer que la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de +∞
3. a) Montrer que ∶ f(x)=8(x−2)(x2−2x+4)x3ex−4 pour tout x de R∗
b) Vérifier que pour tout x de R ; x2−2x+4>0
c) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; 2[ et strictement croissante sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et [2 ; +∞[.
d) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur R∗
4. Construire la courbe (C) dans le repère orthonormé (O ; →i, →j).
5. a) Vérifier que la fonction H : x⟼1xex−4 est une primitive de la fonction h\ ∶\ x\longmapsto\dfrac{x-1}{x^{2}}\mathrm{e}^{x-4} Sur [0\ ;\ 2]
b) Vérifier que f(x)=2+8\mathrm{e}^{x-4}-32\dfrac{x-1}{x^{2}}\mathrm{e}^{x-4} pour tout x de \mathbb{R}^{\ast}
c) Calculer l'intégrale \int^{4}_{2}\mathrm{e}^{x-4}\mathrm{d}x
d) Calculer en cm^{2} l'aire du domaine plan limité par (\mathcal{C}), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=2 et x=4
Deuxième partie :
g(x)=8(x-2)\mathrm{e}^{x-4}-x^{2}
a) Calculer g(4)
b) Vérifier que pour tout x de [2\ ;\ 4] ; g(x)=-(x-4)^{2}\mathrm{e}^{x-4}+x^{2}(\mathrm{e}^{x-4}-1)
c) Vérifier que pour tout x de l'intervalle [2\ ;\ 4], \mathrm{e}^{x-4}-1 \leq 0 puis en déduire que pour tout x de l'intervalle [2\ ;\ 4] ; g(x) \leq 0
2. a) Vérifier que pour x de l'intervalle [2\ ;\ 4] ; f(x)-x=\left(\dfrac{x-2}{x}\right)g(x)
b) En déduire que pour x de l'intervalle [2\ ;\ 4] ; f(x)\leq x
3. Soit \left(U_{n}\right) la suite numérique définie par : U_{0}=4 et U_{n+1}=f\left(U_{n}\right) pour tout n de \mathbb{N}
a) Montrer par récurrence que 2\leq U_{n}\leq 4 pour tout n de \mathbb{N}
b) Démontrer la monotonie de la suite \left(U_{n}\right) et en déduire qu'elle est convergente.
c) Calculer la limite de la suite \left(U_{n}\right).
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