Bac Maths D, Maroc 2016

Exercice 1 

On considère la suite numérique (Un) définie par :

U0=2 et Un+1=116Un+1516 pour tout entier naturel nN                                          

1. a) Montrer par récurrence que Un>1  pour tout entier naturel nN

b) Vérifier que ∶ Un+1Un=1516(Un1) puis montrer que la suite (Un) est décroissante.

c) En déduire que la suite (Un) est convergente.

2. Soit (Vn) la suite numérique telle que Vn=Un1 pour tout entier naturel nN.

a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 116 et exprimer Vn en fonction de n.
 
b) Montrer que Un=1+(116)n pour nN , puis déterminer la limite de la suite (Un)

Exercice 2

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k), les deux points : A(1, 3, 4) et B(0, 1, 2).

1. a) Montrer que OAOB=2i2j+k

b) Montrer que 2x+2y+z=0 est une équation cartésienne du plan (OAB).

2. Soit (S) la sphère d'équation x2+y2+z26x6y6z=0.

Montrer que le centre de la sphère (S) est le point Ω(3, 3, 3) et son rayon est 5.

3. a) Montrer que le plan (OAB) est tangent à la sphère (S).

b) Déterminer les coordonnées de H point de contact du plan (OAB) et la sphère (S).

Exercice 3 

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C l'équation : z28z+41=0

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v), les points A, B, C et Ω d'affixes respectives a, b, c et ω tel que : a=4+5i, b=3+4i et c=6+7i et ω=4+7i

a) Calculer cbab  et en déduire que les points A, B et C sont alignés.
                                                       
b) Soit z l'affixe d'un point M du plan et z l'affixe du point M image de M par la rotation R de centre Ω et d'angle π2.

Montrer que ∶ z=iz3+11i

c) Déterminer l'image du point C par la rotation R puis donner une forme trigonométrique du nombre : aωcω

Exercice 4

Une urne contient 10 boules portant les nombres : 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 (les boules sont indiscernables au toucher).

On considère l'épreuve suivante : On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.
 
1. Soit l'évènement A : les deux boules tirées portent deux nombres pairs.

Montrer que p(A)=13
                                                                                                                
2. On répète l'épreuve précédente trois fois en remettant à chaque fois les deux boules tirées dans l'urne.

Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fois où l'évènement A est réalisé.

Montrer que p(X=1)=49 puis démontrer la loi de probabilité de la variation aléatoire X

Problème :

1. Soit g la fonction numérique définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par ∶ g(x)=2x1+2lnx                                                                                           

Le tableau ci-dessous est le tableau de variation de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; +[

1. Calculer g(1)

2. Déduire à partir du tableau de variation que : g(x)>0 pour tout x ]0 ; +[  
x01+g(x)0+g(x)++g(1)

II. On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ; +[ par : f(x)=33x+2(x+1)lnx  

Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 2cm).

1. Montrer que limx0f(x)= et donner une interprétation géométrique à ce résultat

2. a) Montrer que limx+f(x)=+.  

(pour calculer cette limite on pourra d'écrire f(x) sous forme ∶ )  f(x)=x[3x3+2(1+1x)lnx]  

b) Montrer que la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de +

3. a) Montrer que f(x)=g(x) pour tout x de ]0 ; +[  

b) En déduire que la fonction f est strictement croissante sur ]0 ; +[ et dresser le tableau de variation de la fonction f sur ]0 ; +[  

4. a) Montrer que I(1, 0) est un point d'inflexion de la courbe (C).

b) Montrer que y=x1 est une équation cartésienne de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I.

c) Tracer dans le même repère orthonormé (O, i, j), la droite (T) et la courbe (C).

5. a) Montrer que 21(1+x2)dx74

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que :21(x+1)lnxdx=4ln274

c) Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équation : x=1 et x=2

6. Résoudre graphiquement l'inéquation : (x+1)lnx32(x1)  pour x
 

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