Bac Maths D, Maroc 2016
Exercice 1
U0=2 et Un+1=116Un+1516 pour tout entier naturel n∈N
1. a) Montrer par récurrence que Un>1 pour tout entier naturel n∈N
b) Vérifier que ∶ Un+1−Un=−1516(Un−1) puis montrer que la suite (Un) est décroissante.
c) En déduire que la suite (Un) est convergente.
2. Soit (Vn) la suite numérique telle que Vn=Un−1 pour tout entier naturel n∈N.
a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 116 et exprimer Vn en fonction de n.
b) Montrer que Un=1+(116)n pour n∈N , puis déterminer la limite de la suite (Un)
Exercice 2
1. a) Montrer que →OA∧→OB=2→i−2→j+→k
b) Montrer que 2x+2y+z=0 est une équation cartésienne du plan (OAB).
2. Soit (S) la sphère d'équation x2+y2+z2−6x−6y−6z=0.
Montrer que le centre de la sphère (S) est le point Ω(3, −3, 3) et son rayon est 5.
3. a) Montrer que le plan (OAB) est tangent à la sphère (S).
b) Déterminer les coordonnées de H point de contact du plan (OAB) et la sphère (S).
Exercice 3
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, →u, →v), les points A, B, C et Ω d'affixes respectives a, b, c et ω tel que : a=4+5i, b=3+4i et c=6+7i et ω=4+7i
a) Calculer c−ba−b et en déduire que les points A, B et C sont alignés.
b) Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre Ω et d'angle −π2.
Montrer que ∶ z′=−iz−3+11i
c) Déterminer l'image du point C par la rotation R puis donner une forme trigonométrique du nombre : a−ωc−ω
Exercice 4
On considère l'épreuve suivante : On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.
1. Soit l'évènement A : les deux boules tirées portent deux nombres pairs.
Montrer que p(A)=13
2. On répète l'épreuve précédente trois fois en remettant à chaque fois les deux boules tirées dans l'urne.
Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fois où l'évènement A est réalisé.
Montrer que p(X=1)=49 puis démontrer la loi de probabilité de la variation aléatoire X
Problème :
Le tableau ci-dessous est le tableau de variation de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; +∞[
1. Calculer g(1)
2. Déduire à partir du tableau de variation que : g(x)>0 pour tout x ]0 ; +∞[
x01+∞g′(x)−0+g(x)+∞↘↗+∞g(1)
II. On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ; +∞[ par : f(x)=3−3x+2(x+1)lnx
Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, →i, →j) (unité : 2cm).
1. Montrer que limx→0−f(x)=−∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat
2. a) Montrer que limx→+∞f(x)=+∞.
(pour calculer cette limite on pourra d'écrire f(x) sous forme ∶ ) f(x)=x[3x−3+2(1+1x)lnx]
b) Montrer que la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de +∞
3. a) Montrer que f′(x)=g(x) pour tout x de ]0 ; +∞[
b) En déduire que la fonction f est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et dresser le tableau de variation de la fonction f sur ]0 ; +∞[
4. a) Montrer que I(1, 0) est un point d'inflexion de la courbe (C).
b) Montrer que y=x−1 est une équation cartésienne de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I.
c) Tracer dans le même repère orthonormé (O, →i, →j), la droite (T) et la courbe (C).
5. a) Montrer que ∫21(1+x2)dx74
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que :∫21(x+1)lnxdx=4ln2−74
6. Résoudre graphiquement l'inéquation : (x+1)lnx≥32(x−1) pour x
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