Bac Maths D, Maroc 2016

On considère la suite numérique $\left(U_{n}\right)$ définie par :

$U_{0}=2$ et $U_{n+1}=\dfrac{1}{16}U_{n}+\dfrac{15}{16}$ pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}$                                          

1. a) Montrer par récurrence que $U_{n}>1$  pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}$

b) Vérifier que ∶ $U_{n+1}-U_{n}=−\dfrac{15}{16}\left(U_{n}-1\right)$ puis montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est décroissante.

c) En déduire que la suite $\left(U_{n}\right)$ est convergente.

2. Soit $\left(V_{n}\right)$ la suite numérique telle que $V_{n}=U_{n}-1$ pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}.$

a) Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{16}$ et exprimer $V_{n}$ en fonction de $n.$
 
b) Montrer que $U_{n}=1+\left(\dfrac{1}{16}\right)^{n}$ pour $n\in\mathbb{N}$ , puis déterminer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\  \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k})$, les deux points : $A(1\;,\ 3\;,\ 4)$ et $B(0\;,\ 1\;,\ 2).$

1. a) Montrer que $\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$

b) Montrer que $2x+2y+z=0$ est une équation cartésienne du plan $(OAB).$

2. Soit $(\mathcal{S})$ la sphère d'équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x-6y-6z=0.$

Montrer que le centre de la sphère $(\mathcal{S})$ est le point $\Omega(3\;,\ -3\;,\ 3)$ et son rayon est $5.$

3. a) Montrer que le plan $(OAB)$ est tangent à la sphère $(\mathcal{S}).$

b) Déterminer les coordonnées de $H$ point de contact du plan $(OAB)$ et la sphère $(\mathcal{S}).$

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}-8z+41=0$

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, les points $A$, $B$, $C$ et $\Omega$ d'affixes respectives $a$, $b$, $c$ et $\omega$ tel que : $a=4+5\mathrm{i}$, $b=3+4\mathrm{i}$ et $c=6+7\mathrm{i}$ et $\omega=4+7\mathrm{i}$

a) Calculer $\dfrac{c-b}{a-b}$  et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
                                                       
b) Soit $z$ l'affixe d'un point $M$ du plan et $z'$ l'affixe du point $M'$ image de $M$ par la rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}.$

Montrer que ∶ $z'=-\mathrm{i}z-3+11\mathrm{i}$

c) Déterminer l'image du point $C$ par la rotation $R$ puis donner une forme trigonométrique du nombre : $\dfrac{a-\omega}{c-\omega}$

Une urne contient $10$ boules portant les nombres : $1$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $4$, $4$, $4$, $4$ (les boules sont indiscernables au toucher).

On considère l'épreuve suivante : On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.
 
1. Soit l'évènement $A$ : les deux boules tirées portent deux nombres pairs.

Montrer que $p(A)=\dfrac{1}{3}$
                                                                                                                
2. On répète l'épreuve précédente trois fois en remettant à chaque fois les deux boules tirées dans l'urne.

Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de fois où l'évènement $A$ est réalisé.

Montrer que $p(X=1)=\dfrac{4}{9}$ puis démontrer la loi de probabilité de la variation aléatoire $X$

1. Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ par ∶ $$g(x)=\dfrac{2}{x}-1+2\ln x$$                                                                                           

Le tableau ci-dessous est le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$

1. Calculer $g(1)$

2. Déduire à partir du tableau de variation que : $g(x)>0$ pour tout $x$ $]0\ ;\ +\infty[$  
$$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x&0& &1& &+\infty\\ \hline g'(x)& &-&0&+&\\ \hline g(x)&+\infty&\searrow& &\nearrow&+\infty\\ & & &g(1)& &\\ \hline \end{array}$$

II. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $$f(x)=3-3x+2(x+1)\ln x$$  

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité : $2\,cm).$

1. Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=-\infty$ et donner une interprétation géométrique à ce résultat

2. a) Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.$  

$($pour calculer cette limite on pourra d'écrire $f(x)$ sous forme ∶ $)$  $$f(x)=x\left[\dfrac{3}{x}-3+2\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln x\right]$$  

b) Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$

3. a) Montrer que $f′(x)=g(x)$ pour tout $x$ de $]0\ ;\ +\infty[$  

b) En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0\ ;\ +\infty[$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0\ ;\ +\infty[$  

4. a) Montrer que $I(1\;,\ 0)$ est un point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{C}).$

b) Montrer que $y=x-1$ est une équation cartésienne de la droite $(T)$ tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $I.$

c) Tracer dans le même repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, la droite $(T)$ et la courbe $(\mathcal{C}).$

5. a) Montrer que $$\int^{2}_{1}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\mathrm{d}x\dfrac{7}{4}$$

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que :$$\int_{1}^{2}(x+1)\ln x\mathrm{d}x=4\ln 2-\dfrac{7}{4}$$

c) Calculer, en $cm^{2}$, l'aire du domaine plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équation : $x=1$ et $x=2$

6. Résoudre graphiquement l'inéquation : $(x+1)\ln x\geq\dfrac{3}{2}(x-1)$  pour $x$