Bac Maths D, Maroc 2015

Exercice 1 

On considère la suite numérique (Un) définie par :

U0=4 et Un+1=25Un+3 pour tout entier naturel nN
                                         
1. Montrer par récurrence que Un<5 pour tout entier naturel nN

2. Vérifier que ∶ Un+1Un=25(5Un) et en déduire que la suite (Un) est croissante.

3. En déduire que la suite (Un) est convergente.

4. Soit (Vn) la suite numérique telle que Vn=5Un pour tout entier naturel nN.

a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 25 et exprimer Vn en fonction de n.
 
b) En déduire que Un=5(25)n pour tout nN, puis calculer la limite de la suite (Un)   

Exercice 2

On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k), le plan (P) d'équation : 2xz2=0 et la sphère (S) d'équation : x2+y2+z2+2x+2y+2z7=0  

1. Montrer que le centre de la sphère (S) est le point Ω(1, 0, 1) et son rayon est 3.

2. a) Calculer la distance du point Ω au plan (P).

b) En déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (T).

3. Montrer que le rayon du cercle (T) est 2 et déterminer les coordonnées du point H centre du centre (T).

Exercice 3

1. a) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C l'équation : z28z+32=0

b) On considère le nombre complexe a tel que : a=4+4i

Écrire le nombre complexe a sous forme trigonométrique puis en déduire que a12 est un nombre réel négatif.

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v), les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c tels que : a=4+4i, b=2+3i et c=3+4i  

Soit z l'affixe d'un point M du plan et z l'affixe du point M image de M par la rotation R de centre C et d'angle π2

a) Montrer que : z=iz+7+i
 
b) Vérifier que d l'affixe du point D image du point A par la rotation R est 3+5i.

c) Montrer que l'ensemble des points M d'affixe z tel que : |z35i|=|z44i| est la droite (BC).

Exercice 4

Une urne contient 5 jetons : deux jetons blancs, deux verts et un rouge (les jetons sont indiscernables au toucher). On tire au hasard successivement et avec remise trois jetons de l'urne.

1. Soit l'évènement A : les trois jetons tirés sont de même couleur.

Montrer que p(A)=17125
                                                                                                                    
2. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de jeton(s) blanc(s) tirée. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

Exercice 5

I. Soit g la fonction numérique définie sur l'intervalle ]0 ; +[  par ∶ g(x)=1x+xlnx.

1. a) Montrer que g(x)=lnx pour tout x de ]0 ; +[    

b) Montrer que la fonction g est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur ]1 ; +[.

2. Calculer g(1) et en déduire que g(x)0 pour tout x de ]0 ; +[    

II. On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ; +[ par :
f(x)=31x22lnxx
                                                                                                            
Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 1cm).
 
1. Montrer que limx0+f(x)= et donner une interprétation géométrique à ce résultat

(pour calculer limx0+f(x) remarquer que f(x)=3x212xlnxx2x]0 ; +[)
 
2. Montrer que limx+f(x)=3 et en déduire la branche infinie de la courbe (C) au voisinage de +

3. a) Montrer que  f(x)=2g(x)x3 pour tout x de ]0 ; +[

b) Interpréter géométriquement le résultat f(1)=0

c) Montrer que la fonction f est croissante sur ]0 ; +[

4. Tracer, dans le repère orthonormé (O, i, j), la courbe (C).

(On admettra que la courbe (C) possède deux points d'inflexion tels que 1 est l'abscisse de l'un de ces deux points et l'abscisse de l'autre est comprise entre 2 et 2.5 et on prendra f(0.3)=0).

5. a) Montrer que e12lnxxdx=1

b) Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équation x=1 et x=e

6. Soit h la fonction numérique définie sur R par :
h(x)=31x2ln(x2)|x|.

a) Montrer que la fonction h est paire et que f(x)=f(x) pour tout x de  ]0 ; +[

b) Tracer, dans le même repère orthonormé (O, i, j), la courbe (C) représentant la fonction h.
 

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