Bac Maths D, Maroc 2015
Exercice 1
U0=4 et Un+1=25Un+3 pour tout entier naturel n∈N
1. Montrer par récurrence que Un<5 pour tout entier naturel n∈N
2. Vérifier que ∶ Un+1−Un=25(5−Un) et en déduire que la suite (Un) est croissante.
3. En déduire que la suite (Un) est convergente.
4. Soit (Vn) la suite numérique telle que Vn=5−Un pour tout entier naturel n∈N.
a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 25 et exprimer Vn en fonction de n.
b) En déduire que Un=5−(25)n pour tout n∈N, puis calculer la limite de la suite (Un)
Exercice 2
1. Montrer que le centre de la sphère (S) est le point Ω(−1, 0, 1) et son rayon est 3.
2. a) Calculer la distance du point Ω au plan (P).
b) En déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (T).
3. Montrer que le rayon du cercle (T) est 2 et déterminer les coordonnées du point H centre du centre (T).
Exercice 3
b) On considère le nombre complexe a tel que : a=4+4i
Écrire le nombre complexe a sous forme trigonométrique puis en déduire que a12 est un nombre réel négatif.
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, →u, →v), les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c tels que : a=4+4i, b=2+3i et c=3+4i
Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre C et d'angle π2
a) Montrer que : z′=iz+7+i
b) Vérifier que d l'affixe du point D image du point A par la rotation R est 3+5i.
c) Montrer que l'ensemble des points M d'affixe z tel que : |z−3−5i|=|z−4−4i| est la droite (BC).
Exercice 4
1. Soit l'évènement A : les trois jetons tirés sont de même couleur.
Montrer que p(A)=17125
2. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de jeton(s) blanc(s) tirée. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Exercice 5
1. a) Montrer que g′(x)=lnx pour tout x de ]0 ; +∞[
b) Montrer que la fonction g est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur ]1 ; +∞[.
2. Calculer g(1) et en déduire que g(x)≥0 pour tout x de ]0 ; +∞[
II. On considère la fonction numérique f définie sur ]0 ; +∞[ par :
f(x)=3−1x2−2lnxx
Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, →i, →j) (unité : 1cm).
1. Montrer que limx→0+f(x)=−∞ et donner une interprétation géométrique à ce résultat
(pour calculer limx→0+f(x) remarquer que f(x)=3x2−1−2xlnxx2∀x∈]0 ; +∞[)
2. Montrer que limx→+∞f(x)=3 et en déduire la branche infinie de la courbe (C) au voisinage de +∞
3. a) Montrer que f′(x)=2g(x)x3 pour tout x de ]0 ; +∞[
b) Interpréter géométriquement le résultat f′(1)=0
c) Montrer que la fonction f est croissante sur ]0 ; +∞[
4. Tracer, dans le repère orthonormé (O, →i, →j), la courbe (C).
(On admettra que la courbe (C) possède deux points d'inflexion tels que 1 est l'abscisse de l'un de ces deux points et l'abscisse de l'autre est comprise entre 2 et 2.5 et on prendra f(0.3)=0).
5. a) Montrer que ∫e12lnxxdx=1
b) Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équation x=1 et x=e
6. Soit h la fonction numérique définie sur R∗ par :
h(x)=3−1x2−ln(x2)|x|.
a) Montrer que la fonction h est paire et que f(x)=f(x) pour tout x de ]0 ; +∞[
b) Tracer, dans le même repère orthonormé (O, →i, →j), la courbe (C′) représentant la fonction h.
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