Bac Maths D, Maroc 2011

1. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^{2}-2x-3=0.$

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\mathrm{e}^{x}-\dfrac{3}{\mathrm{e}^{x}}-2=0$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\mathrm{e}^{x+1}-\mathrm{e}^{-x} \geq 0$

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}-6z+18=0$

2. On considère, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$, les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=3+3\mathrm{i}$ et $b=3-3\mathrm{i}.$

a) Écrire sous forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes $a$ et $b.$

b) Montrer que $b'$ l'affixe du point $B'$ image du point $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OA}$ est $6.$

c) Montrer que ∶$\dfrac{b-b'}{a-b'}=\mathrm{i}$ puis en déduire le triangle $AB'B$ est rectangle isocèle en $B'.$

d) Déduire de ce qui précède que le quadrilatère $OAB'B$ est un carré.

On considère la suite numérique $\left(U_{n}\right)$ définie par :

$U_{0}=1$ et $U_{n+1}=\dfrac{6U_{n}}{1+15U_{n}}$ pour tout entier naturel $n$ de $\mathbb{N}$

1. a) Vérifier que : $U_{n+1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{U_{n}-\dfrac{1}{3}}{15U_{n} +1}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

b) Montrer par récurrence que  ∶ $U_{n}>\dfrac{1}{3}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

2. On considère la suite numérique $\left(V_{n}\right)$ définie par : $V_{n}=1-\dfrac{1}{3U_{n}}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

Montrer que $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1/6$ puis exprimer $V_{n}$ en fonction de $n.$

3. Montrer que $U_{n}=\dfrac{1}{3-2\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n}}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ et en déduire $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}U_{n}$

I. On considère la fonction numérique $g$ définie sur $I=]0\;,\ +\infty[$ par : $$g(x)=x-1+\ln x$$

1. a) Montrer que $g'(x)=\dfrac{x+1}{x}$ pour tout $x$ de $I$

b) Montrer que la fonction $g$ est croissante sur $I$

2. En déduire que $g(x)\geq 0$ sur $[1\;,\ +\infty[$ et que $g(x)\leq 0$ sur  $]0\;,\ 1]$ $($Remarquer que $g(1)=0).$

II. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $I$ par : $$f(x)=\left(\dfrac{x-1}{x}\right)\ln x$$

Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ $($unité : $1\,cm).$

1. a) Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty$ et donner une interprétation géométrique à ce résultat

b) Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0.$

$\left(\text{Remarquer que }\dfrac{f(x)}{x}=\left(\dfrac{x-1}{x}\right)\dfrac{\ln x}{x}\right)$ pour tout $x$ de $I$

c) En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet une branche parabolique au voisinage de $+\infty$ dont on précisera la direction.

2. a) Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$ pour tout $x$ de $I$

b) En déduire que la fonction $f$ est croissante sur $[1\;,\ +\infty[$ et  décroissante sur  $]0\;,\ 1]$

c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $I.$

3. Construire $(\mathcal{C})$ $($on admettra que la courbe $(\mathcal{C})$ possède un seul point d'inflexion d'abscisse comprise entre $1.5$ et $2).$

4. a) Montrer que $H\ :\ \longmapsto\dfrac{1}{2}(\ln x)^{2}$ et une fonction primitive de la fonction $h\ :\ x\longmapsto\dfrac{\ln x}{x}$ sur $I$

b) Montrer que $$\int_{1}^{\mathrm{e}}\dfrac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=1$$

c) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que ∶ $$\int^{\mathrm{e}}_{1}\ln x\mathrm{d}x=1$$

5. a) vérifier que $f(x)=\ln x-\dfrac{\ln x}{x}$ pour tout $x$ de $I$

b) Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\mathrm{e}$ est égale à $0.5\,cm^{2}.$