Bac Maths D, Tunisie 2016

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

1. Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ les plans d'équations respectives $x+y -z-5=0$ et $x+y-z+7=0.$

Montrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont strictement parallèles.

2. Soit $\mathcal{S}$ l'ensemble des points $M(x\ ;\ y\ ;\ z)$ de l'espace tel que : $$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+1=0.$$

a) Justifier que $S$ est la sphère de centre $I(1\;,\ 2\;,\ 1)$ et de rayon $R =\sqrt{5}.$

b) Montrer que $\mathcal{P}\cap \mathcal{S}$ est un cercle $\mathcal{G}$ de centre $J(2\;,\ 3\;,\ 0)$, dont on déterminera le rayon.

c) Déterminer $\mathcal{Q}\cap \mathcal{S}.$

3. On donne les points $A(0\;,\ 0\;,\ 1)$, $B(0\;,\ 1\;,\ 2)$ et $C(2\;,\ 2\;,\ 5).$

a) Déterminer les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}.$

b) Montrer pour tout point $M(x\ ;\ y\ ;\ z)$ de l'espace, $(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AM}=2(x+y-z+1).$

4. Déterminer l'ensemble des points $M$ de la sphère $S$ pour lesquels $ABCM$ est un tétraèdre de volume égal à $2.$

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \overrightarrow{u}\;,\ \overrightarrow{v}).$
 
On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{6}}$ et $b=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{6}}.$
 
1. a) Construire dans le repère $(O\;,\ \overrightarrow{u}\;,\ \overrightarrow{v})$, les points $A$ et $B.$

b) Écrire $a$ et $b$ sous forme algébrique.

2. La droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par $A$ et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par $B$ se coupent en un point $C.$

a) Déterminer l'affixe $c$ du point $C.$

b) Vérifier que $c^{2}=1+2\mathrm{i}\sqrt{6}.$

3. On considère le point $D$ d'affixe $c^{2}.$

a) Montre que $OD=5.$

b) En déduire une construction du point $D.$

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$, l'équation $2z^{2}-2z-\mathrm{i}\sqrt{6}=0.$

On désigne par $z_{1}$ la solution dont la partie réelle et la partie imaginaires sont positives et $z_{2}$ l'autre solution.  
 
5. Soit les points $I$, $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixes respectives $1$, $z_{1}$ et $z_{2}.$

a) Justifier que le point $M_{1}$ est le milieu du segment $[IC].$

b) Montrer que le quadrilatère $OCM_{1}M_{2}$ est un parallélogramme.

c) Construire les points $M_{1}$ et $M_{2}.$  

A. Soit $f$ la fonction définie sur $I=]0\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=2\ln x-x+\dfrac{1}{x}.$

On désigne par $\mathcal{G}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \mathrm{i}\;,\ \mathrm{j}).$

1. a) Montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=+\infty$ et que $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty.$

b) Montre que $\mathcal{G}$ admet une branche parabolique de direction celle de la droite $\Delta$ d'équation $y=-x.$

2. a) Vérifier que pour tout $x\in I\;,\ f'(x)=-\left(\dfrac{x-1}{x}\right)^{2}.$  

b)  Dresser le tableau de variation de $f.$

c) Calculer $f(1).$

En déduire le signe de $f(x)$ pour $x\in I.$

d) Montrer que $I(1\;,\ 0)$ est un point d'inflexion de la courbe $(\mathcal{G}).$

3. a) Tracer la courbe $\mathcal{G}.$

b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{G}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\mathrm{e}.$

4. Soit $x>0.$

a) Vérifier que $f\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\right)=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)−\dfrac{1}{\sqrt{x(x+1)}}.$

b) En remarquant que $\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}>1$, montrer que $\ln\left(1\dfrac{1}{x}\right)\leq\dfrac{1}{\sqrt{x(x+1)}}.$
 
B. Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie sur $\mathbb{R}^{\ast}$ par $u_{n}=\sum^{n}_{k=1}\ln^{2}\left(1+\dfrac{1}{k}\right).$

1. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_{3}.$

2. a) Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

b) Montrer que pour tout $k\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}. $

c) Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ u_{n}\leq 1-\dfrac{1}{n+1}.$

d) En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente vers un réel $t$ et que $0.7<t<1.$

Le tableau ci-dessous donne, pour les années indiquées, le taux de mortalité infantile en Tunisie pour $1000$ naissance.
 
On désigne par $(X\ ;\ Y)$ la série statistique double, où $X$ est le rang de l'année et $Y$ est le taux de mortalité infantile pour $1000$ naissances.
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année}&1990&1993&1996&1999&2002&2005&2008&2011&2014\\ \hline \text{Rang} x_{i}&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline \text{Taux }y_{i}&37.3&32.3&29.7&24.2&22.1&20.3&18.4&16.4&16.3\\ \hline \end{array}$$

1. a) Déterminer, à $10^{-2}$ près le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y.$

b) Écrire une équation de la droite de régression $D$ de $Y$ en $X.$      

(Les coefficients seront arrondis au centième).

d) Utiliser cet ajustement pour estimer le taux de mortalité infantile en Tunisie pour $1000$ naissance en $2020.$

2. On pose $Z=\ln(Y).$

Dans la figure ci-contre on a représenté le nuage de point de la série statistique $(X\;,\ Z)$ et la droite de régression $\Delta$ de $Z$ en $X$ dont une équation est $z=-0.11x+3.57.$

a) Justifier qu'on peut modéliser le taux de mortalité infantile en Tunisie pour $1000$ naissance par la relation $y=35.52\mathrm{e}^{-0.11x}.$

b) Estimer, à l'aide de cet ajustement, le taux de mortalité en Tunisie pour $1000$ naissance en $2020.$

3. Dans la figure ci-dessous, on a représenté la droite $\mathcal{D}$ définie en $1.$ 1. b), la courbe $(\mathcal{C})$ d'équation $y=35.52\mathrm{e}^{−0.11x}$ et le nuage de point de la série $(X\;,\ Y).$

Lequel des deux ajustements proposés s'avère le plus adaptables à la situation ?

Justifier la réponse.