Bac Maths D, Tunisie 2016

Exercice 1   

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k).

1. Soit P et Q les plans d'équations respectives x+yz5=0 et x+yz+7=0.

Montrer que les plans P et Q sont strictement parallèles.

2. Soit S l'ensemble des points M(x ; y ; z) de l'espace tel que : x2+y2+z22x+1=0.

a) Justifier que S est la sphère de centre I(1, 2, 1) et de rayon R=5.

b) Montrer que PS est un cercle G de centre J(2, 3, 0), dont on déterminera le rayon.

c) Déterminer QS.

3. On donne les points A(0, 0, 1), B(0, 1, 2) et C(2, 2, 5).

a) Déterminer les composantes du vecteur ABAC.

b) Montrer pour tout point M(x ; y ; z) de l'espace, (ABAC)AM=2(x+yz+1).

4. Déterminer l'ensemble des points M de la sphère S pour lesquels ABCM est un tétraèdre de volume égal à 2.

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v).
 
On considère les points A et B d'affixes respectives a=2eiπ6 et b=2eiπ6.
 
1. a) Construire dans le repère (O, u, v), les points A et B.

b) Écrire a et b sous forme algébrique.

2. La droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par A et la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par B se coupent en un point C.

a) Déterminer l'affixe c du point C.

b) Vérifier que c2=1+2i6.

3. On considère le point D d'affixe c2.

a) Montre que OD=5.

b) En déduire une construction du point D.

4. Résoudre dans C, l'équation 2z22zi6=0.

On désigne par z1 la solution dont la partie réelle et la partie imaginaires sont positives et z2 l'autre solution.  
 
5. Soit les points I, M1 et M2 d'affixes respectives 1, z1 et z2.

a) Justifier que le point M1 est le milieu du segment [IC].

b) Montrer que le quadrilatère OCM1M2 est un parallélogramme.

c) Construire les points M1 et M2.  

Exercice  3

A. Soit f la fonction définie sur I=]0 ; +[ par f(x)=2lnxx+1x.

On désigne par G sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j).

1. a) Montrer que limx0+f(x)=+ et que limx+f(x)=.

b) Montre que G admet une branche parabolique de direction celle de la droite Δ d'équation y=x.

2. a) Vérifier que pour tout xI, f(x)=(x1x)2.  

b)  Dresser le tableau de variation de f.

c) Calculer f(1).

En déduire le signe de f(x) pour xI.

d) Montrer que I(1, 0) est un point d'inflexion de la courbe (G).

3. a) Tracer la courbe G.

b) Calculer l'aire de la partie du plan limitée par la courbe G, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e.

4. Soit x>0.

a) Vérifier que f(1+1x)=ln(1+1x)1x(x+1).

b) En remarquant que 1+1x>1, montrer que ln(11x)1x(x+1).
 
B. Soit (un) la suite définie sur R par un=nk=1ln2(1+1k).

1. Donner une valeur approchée à 103 près de u3.

2. a) Montrer que la suite (un) est croissante.

b) Montrer que pour tout kN, 1k(k+1)=1k1k+1.

c) Montrer que pour tout nN, un11n+1.

d) En déduire que (un) est convergente vers un réel t et que 0.7<t<1.

Exercice 4 

Le tableau ci-dessous donne, pour les années indiquées, le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000 naissance.
 
On désigne par (X ; Y) la série statistique double, où X est le rang de l'année et Y est le taux de mortalité infantile pour 1000 naissances.
Année199019931996199920022005200820112014Rangxi012345678Taux yi37.332.329.724.222.120.318.416.416.3

1. a) Déterminer, à 102 près le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y.

b) Écrire une équation de la droite de régression D de Y en X.      

(Les coefficients seront arrondis au centième).

d) Utiliser cet ajustement pour estimer le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000 naissance en 2020.

2. On pose Z=ln(Y).

Dans la figure ci-contre on a représenté le nuage de point de la série statistique (X, Z) et la droite de régression Δ de Z en X dont une équation est z=0.11x+3.57.

a) Justifier qu'on peut modéliser le taux de mortalité infantile en Tunisie pour 1000 naissance par la relation y=35.52e0.11x.

b) Estimer, à l'aide de cet ajustement, le taux de mortalité en Tunisie pour 1000 naissance en 2020.

3. Dans la figure ci-dessous, on a représenté la droite D définie en 1. 1. b), la courbe (C) d'équation y=35.52e0.11x et le nuage de point de la série (X, Y).

Lequel des deux ajustements proposés s'avère le plus adaptables à la situation ?

Justifier la réponse.

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