Bac Maths D, Tunisie 2014
Exercice 1
On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, →i, →j).
1. a) Calculer limx→+∞f(x).
b) Calculer limx→−∞f(x) et montrer que limx→−∞f(x)x=−∞.
Interpréter graphiquement ce résultat.
2. a) Montrer que pour tout réel x, f′(x)=−(2+e−x)(1+ex)2.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3. a) Justifier que la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse 0 a pour équation y=−34x+12.
b) Utiliser le tableau de signe ci-contre pour préciser la position relative de Cf et (T).
x−∞0+∞f′(x)+34−|+
c) Tracer (T) et Cf.
4. Soit λ un réel strictement positif.
On désigne par Aλ l'aire de la partie du plan limitée par la courbe Cf, les axes du repère et la droite d'équation x=λ.
a) Vérifier que, pour tout réel x, f(x)=e−x−e−x1+e−x.
b) Montrer que Aλ=e−λ+ln(1+e−λ)+1−ln2.
c) Calculer limx→+∞Aλ.
Exercice 2
Le tableau ci-dessous donne les résultats recensés pour une tasse de café servie dans un salon dont la température ambiante est de 20∘C.
t (en mn)051015202530354045505560T (en ∘C)10068.55037.83126.5242221.520.920.520.320.2
On pose θ=ln(T−20).
Les valeurs de θ ; arrondie à 10−2 près, sont données dans le tableau qui suit :
t (en mn)051015202530354045505560T (en∘C)4.383.883.402.882.401.871.390.690.41−0.10−0.69−1.2−1.60
1. a) Construire le nuage de point de la série (t, θ), dans la repère proposé dans l'annexe ci-jointe (Figure 1).
b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r de la série (t, θ).
Interpréter le résultat.
2. a) Donner une équation de la droite de régression de θ en t.
(On donnera les coefficients de cette équation arrondis à 10−2 près).
b) En déduire que l'expression de T en fonction de t est de la forme T=20+αeβt, α et β étant deux réels dont on donnera les valeurs respectives arrondies à 10−1 près.
c) Estimer la température de cette tasse de café après 90 minutes de sa préparation.
d) La température de cette tasse de café atteindra-t-elle 18∘C ?
Expliquer.
Exercice 3
On considère la sphère (S) d'équation x2+y2+z2−8=0 et le plan P d'équation : x+2y+z±6=0.
1. a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère (S).
b) Montrer que le plan P coupe la sphère (S) suivant un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon.
2. On donne les points A(2, 0, 2) et B(2, 2, 0).
a) Vérifier que A appartient à la sphère (S) et n'appartient pas au plan P et que B appartient au cercle (C).
b) Soit Q l'ensemble des pointsM(x ; y ; z) de l'espace tels que MA=MB.
Montrer que Q est le plan d'équation y=z.
c) Montrer que les plans P et Q se coupent suivant la droite Δ dont une représentation paramétrique est
{x=6−3αy=α,α∈Rz=α}
3. Déterminer un point C du cercle (C) tel que ABC est un triangle équilatéral.
Exercice 4
a) Calculer z1+z2 et z1×z2.
b) En déduire que, pour tout nombres complexe z, (z−z1)(z−z2)=z2+i√3z−2.
Dans la suite, on muni le plan complexe d'un repère orthonormé direct (O, →u, →v) et on considère les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2.
2. Dans l'annexe ci-jointe (Figure 2), on a tracé le cercle (C) de centre O et de rayon √2 et on a placé le point H d'affixe −i√32.
a) Montrer que M1 et M2 appartiennent à (C).
b) Justifier que H est le milieu du segment [M1M2].
c) Construire les points M1 et M2.
3. Soit K le point d'affixe −i√3.
Soit z un nombre complexe et M et N les points du plan complexe d'affixes respectives z et z3.
a) Montrer que : (K est le milieu du segment [MN] si et seulement si z3+z+2i√3=0).
b) Vérifier que z3+z+2i√3=(z−i√3)(z2+i√3z−2).
c) Résoudre dans C l'équation z2+z+2i√3=0.
d) Construire alors les points N1 et N2 d'affixes respectives z32 et z32
(On rappelle que z1 et z2 sont les affixes des points M1 et M2).
e) Déterminer l'affixe a d'un point A de l'axe (O, →v) dont le symétrique par rapport au point K est d'affixe a3
Annexe à rendre avec la copie
L'axe des ordonnés θ n'est pas représentée en vrai grandeur.

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