Bac Maths D, Tunisie 2013

Exercice 1 

Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un cube d'arrêt 1.
 
Le point I est le milieu du segment [AC].
 
Le point J est le milieu du segment [EG].

L'espace est muni du repère orthonormé direct (A ; AB, AD, AE).


 
Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes en justifiant la réponse.

1. ACBD=AE.
 
2. (IAIG)IJ=0.

3. La sphere de diamètre  [AC] est tangente au plan d'équation z1=0.

Exercice 2

I. Dans la figure ci-dessous, on a représenté dans un repère orthogonal (O, i, j) la courbe Cf de la fonction f définie sur R par f(x)=x3+6x+2.

1. Justifier que l'équation x3+6x+2=0.

Admet dans R une solution unique α.


 
2. Donner un encadrement de α d'amplitude 101.
 
II. On se propose dans cette partie de déterminer la valeur de α.

1. On considère dans C les équations (E1) : z3=2 et (E1) : z3=4.

a) Justifier que les solutions de (E1) sont :

a1=32 ; a2=32ei2π3 ; a3=32ei(2π3).

b) Justifier que les solutions de (E2) sont b1=34 ; b2=34eiπ3 et b3=34ei(π3).

c) Vérifier que a1b1=a2b2=a3b3=2.

2. Soit a et b deux nombres complexes vérifiant a3+b3=2 et ab=2.

a) Vérifier que (a+b)3=26(a+b).

b) En déduire que a+b est une solution de l'équation z3+6z+2=0.

3. Déduire les solutions de l'équation z3+6z+2=0.

4. Conclure.

Exercice 3  

Une étude a été faite sur une population de 22 mouches se reproduisent assez rapidement.

Le tableau suivant donne le nombre N de mouches après un temps T exprimé en jours.
T0912182533394857666975M223910522549979193810051028103310341034

1. Quelle conjecturer peut-on émettre sur le nombre de mouches au bout de 85 jours ?

2. On pose M=ln(1035N1).

Les valeurs de M, arrondies à 103 près, sont données dans le tableau suivant :
T0912182533394857666975M3.8303.2402.1811.2810.0721.1762.2693.5124.9896.2476.9416.941

a) Donner une valeur approchée à 103 près du coefficient de corrélation linéaire en T et M.

b) Donner une équation de la droite de régression de M en T (les coefficients seront arrondies à 103 près).

3. a) Montrer que N=10351+eM.

b) Déduire que N=10351+αeβT, où α et β sont deux réels positifs que l'on déterminera.

4. En utilisant la question 3. b), valider ou réfuter la conjecture émise en 1.

Exercice 4 

Dans l'annexe ci-jointe (O, i, j) est un repère orthonormé et Cf est la courbe représentative de la fonction f définie sur [3 ; +[ par f(x)=lnx+x29.

Soit E la partie du plan limitée par la courbe Cf et les droites d'équations x=9, et x=5 et y=ln3.

On désigne par A l'aire (en unité d'aire) de E.

1. Hachurer E.

2. a) Vérifier que f(5)=2ln3.

b) Soit M et N les points de la courbe Cf d'abscisse respectives 3 et 5 et P et Q les points de coordonnées respectives (5, ln3) et (3, 2ln2).

Placer, dans le repère (O, i, j), les points M, N, P et Q.

c) Calculer l'aire du rectangle MPNQ et l'aire du triangle MPN.

d) En déduire que ln3A2ln3.      

3. a) Calculer lim+f(x)

b) En utilisant le graphique, justifier que f réalise une bijection de [3 ; +[ sur l'intervalle [ln3, +[.
 
4. Soit g la fonction réciproque de la fonction f et Cg sa courbe représentative dans le repère (O, i, j)

Tracer la courbe Cg.
 
5. Soit E la partie du plan limitée par la courbe Cg et les droites d'équations : x=ln3, x=2ln3 et y=5.  

On désigne par A l'aire (en unité d'aire) de E.

a) Hachurer E.

b) Montrer que A=5ln32ln3ln3g(x)dx.
 
6. a) Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [ln3, +[, g(x)ex+9ex2.

b) Calculer 2ln3ln3g(x)dx et en déduire la valeur de A.
 

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