Bac Maths D, Tunisie 2013
Exercice 1
Le point I est le milieu du segment [AC].
Le point J est le milieu du segment [EG].
L'espace est muni du repère orthonormé direct (A ; →AB, →AD, →AE).
Répondre par vrai ou faux à chacune des propositions suivantes en justifiant la réponse.
1. →AC∧→BD=→AE.
2. (→IA∧→IG)⋅→IJ=0.
3. La sphere de diamètre [AC] est tangente au plan d'équation z−1=0.
Exercice 2
1. Justifier que l'équation x3+6x+2=0.
Admet dans R une solution unique α.
2. Donner un encadrement de α d'amplitude 10−1.
II. On se propose dans cette partie de déterminer la valeur de α.
1. On considère dans C les équations (E1) : z3=2 et (E1) : z3=−4.
a) Justifier que les solutions de (E1) sont :
a1=3√2 ; a2=3√2ei2π3 ; a3=3√2ei(2π3).
b) Justifier que les solutions de (E2) sont b1=−3√4 ; b2=3√4eiπ3 et b3=3√4ei(−π3).
c) Vérifier que a1b1=a2b2=a3b3=−2.
2. Soit a et b deux nombres complexes vérifiant a3+b3=−2 et ab=−2.
a) Vérifier que (a+b)3=−2−6(a+b).
b) En déduire que a+b est une solution de l'équation z3+6z+2=0.
3. Déduire les solutions de l'équation z3+6z+2=0.
4. Conclure.
Exercice 3
Le tableau suivant donne le nombre N de mouches après un temps T exprimé en jours.
T0912182533394857666975M223910522549979193810051028103310341034
1. Quelle conjecturer peut-on émettre sur le nombre de mouches au bout de 85 jours ?
2. On pose M=ln(1035N−1).
Les valeurs de M, arrondies à 10−3 près, sont données dans le tableau suivant :
T0912182533394857666975M3.8303.2402.1811.2810.072−1.176−2.269−3.512−4.989−6.247−6.941−6.941
a) Donner une valeur approchée à 10−3 près du coefficient de corrélation linéaire en T et M.
b) Donner une équation de la droite de régression de M en T (les coefficients seront arrondies à 10−3 près).
3. a) Montrer que N=10351+eM.
b) Déduire que N=10351+αe−βT, où α et β sont deux réels positifs que l'on déterminera.
4. En utilisant la question 3. b), valider ou réfuter la conjecture émise en 1.
Exercice 4
Soit E la partie du plan limitée par la courbe Cf et les droites d'équations x=9, et x=5 et y=ln3.
On désigne par A l'aire (en unité d'aire) de E.
1. Hachurer E.
2. a) Vérifier que f(5)=2ln3.
b) Soit M et N les points de la courbe Cf d'abscisse respectives 3 et 5 et P et Q les points de coordonnées respectives (5, ln3) et (3, 2ln2).
Placer, dans le repère (O, →i, →j), les points M, N, P et Q.
c) Calculer l'aire du rectangle MPNQ et l'aire du triangle MPN.
d) En déduire que ln3≤A≤2ln3.
3. a) Calculer lim→+∞f(x)
b) En utilisant le graphique, justifier que f réalise une bijection de [3 ; +∞[ sur l'intervalle [ln3, +∞[.
4. Soit g la fonction réciproque de la fonction f et Cg sa courbe représentative dans le repère (O, →i, →j)
Tracer la courbe Cg.
5. Soit E′ la partie du plan limitée par la courbe Cg et les droites d'équations : x=ln3, x=2ln3 et y=5.
On désigne par A′ l'aire (en unité d'aire) de E′.
a) Hachurer E′.
b) Montrer que A′=5ln3−∫2ln3ln3g(x)dx.
6. a) Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [ln3, +∞[, g(x)ex+9e−x2.
b) Calculer ∫2ln3ln3g(x)dx et en déduire la valeur de A.
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