Bac Maths C et E, Benin 2010

Contexte : Un championnat de mathématiques

Un championnat de mathématiques organisé à l'endroit des élèves de niveau terminale C a porté sur les notion d'arithmétique, de similitude et de calcul d'aire. L'un des supports de l'épreuve soumis aux élèves est la droite

$(\mathcal{D})$ d'équation

$8x+15y-6=0$ et le point

$A(1\ ;\ 1)$ dans le repère orthonormé direct

$\left(O\ ;\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}}\right)$ du plan complexe

$\mathcal{P}.$ Il s'agit entre autres, de déterminer l'ensemble

$\mathcal{S}$ des points

$M(x\ ;\ y)$ de la droite

$(\mathcal{D})$ tels que les nombres

$x$ ,

$y$ et

$\dfrac{x}{y}$ soient des entiers relatifs. Le trophée à gagner est un tableau de dessin d'art. Il est exposé aux candidats et des questions relatives à l'épreuve

$y$ sont rattachées. Coffi, un candidat à ce championnat, rêve de remplacer ce tableau qui l'a émerveillé.

Tâche :

Tu es invité à trouver des solutions à la préoccupation de Coffi en résolvant les problèmes suivant :

Problème 1

1. Détermine l'ensemble des points

$M(x\ ;\ y)$ de la droite

$(\mathcal{D})$ tels que :

$x\in\mathbb{Z}$ et

$y\in\mathbb{Z}.$

2. Soit $(x\ ;\ y)$ le couple de coordonnées d'un point de la droite $(\mathcal{D})$ tel que $x\in\mathbb{Z}$ et $y\in\mathbb{Z}.$

a) Justifie que tout diviseur commun à $x$ et à $y$ est un diviseur de $6.$

b) Déduis-en les valeurs possibles de $PGCD(x\ ;\ y).$

3. Détermine l'ensemble $\mathcal{S}.$

Problème 2

Une autre question du championnat a consisté à déterminer l'ensemble

$(\Delta)$ des points

$N$ tels que pour tout point

$M$ de

$(\mathcal{D})$ , on ait :

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} AN&=&2AM\\\\ mes\left(\widehat{\overrightarrow{AM}\ ;\ \overrightarrow{AN}}\right)&=&\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\quad k\in\mathbb{Z} \end{array}\right.$

4. a) Justifier que $N$ est l'image de $M$ par une similitude directe plane $\int$ dont tu préciseras le centre, le rapport et l'angle.

b) Déterminer l'écriture complexe de $\int.$

c) Justifier que $(\Delta)$ est une droite.

d) Construis la droite $(\Delta).$

e) Détermine une équation cartésienne de la droite $(\Delta).$