Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2018
Exercice 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, →u, →v) ; unité graphique : 2cm.
On considère l'application h du plan P privé du point O qui, à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′=h(z) telle que h(z)=2z−22.
Soient A et B deux points d'affixes respectives a et b avec a≠0 et b≠0
1) Démontrer que pour tout complexe z≠0, h(z)−h(a)=2(z−aaz)
En déduire que pour tout z différent de 0, de a et de b h(z)−h(b)h(z)−h(a)=ab(z−bz−a)
2) Dans toute la suite de l'exercice, on prend a=1−i et b=ˉa
a) Vérifier que h(a)=a et h(b)=b
b) En déduire que pour tout complexe z non nul différent de a et b, on a b(z)−bh(z)−a=−i(z−bz−a)
3) On pose z0=i et pour tout entier naturel n, zn+1=h(zn).
On désigne par Mn le point d'affixe zn.
a) Calculer AM0BM0, z1 et z2
b) Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que AMnBMn=√5 pour tout naturel n
4) On pose pour tout point M du plan et f une application du plan P dans R : f(M)=AM2−5BM2
a) Déterminer l'affixe du point G barycentre du système : {(A, 1) ; (B, −5)}
b) Calculer f(G)
Exercice 2
L'espace E est muni d'un repère (O, →u, →v, →k) orthonormal.
On donne A, B, C, D, E des points de E définis respectivement par les triplets de coordonnées suivants : A(1 ; −1 ; 0), B(2 ; 0 ; 1), C(−1 ; 1 ; 0) et D(−2 ; 0 ; 1).
Soient a et b deux nombres réels. On désigne par le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients −1−a et a.
Enfin on appelle G le barycentre des points P et Q affecté respectivement des coefficients 1+b et 1−b
1) a) Calculer, en fonction de a les coordonnées des points P et Q
b) Montrer que G a pour coordonnées (a+b ; a−b ; ab)
2) a) Le réel a étant supposé fixé (a≠0), montrer que l'ensemble des points G obtenus quand b varie est une droite (D′a) dont on donnera les équations paramétrées en fonction de a et un vecteur directeur
b) Le réel b étant supposé fixé (b≠0), montrer que l'ensemble des points G obtenus quand a varie est une droite (D′b) dont on donnera les équations paramétrées en fonction de b et un vecteur directeur
3) a) Montrer que l'ensemble S des points G obtenus lorsque (a, b)∈R2 est partie de l'ensemble S′ des points dont les coordonnées vérifient x2−y2=4z
b) On désigne par P le plan d'équation z=1
Déterminer la nature et l'excentricité de S∩P
Problème
Partie A
On considère la fonction g définie sur [0, +∞[ par g(x)=√e2x−1.
1) Calculer g′(x) et étudier le sens de variation de g.
2) Calculer limx→+∞g(x) et limx→+∞g(x)x.
Quelle conséquence graphique a-t-on ?
3) Dresser le tableau de variations de g
4) Montrer que g réalise une bijection de [0, +∞[ vers un intervalle J que l'on précisera.
Tracer la courbe g et celle de g−1 dans un repère orthonormal (O, →i, →j), g−1 étant la réciproque de g. Unité : 2cm.
Partie B
Soit G la fonction définie sur [0, +∞[ par : G(x)=∫x0g(t)dt
1) Pour tout x∈R, on pose H(x)=∫x0dt1+t2
a) Montrer que la fonction H est dérivable sur R et calculer H′(x)
b) Calculer (H∘tan)′(x) pour tout x∈]−π2, π2[.
En déduire que (H∘tan)′(x)=x, pour tout x∈]−π2, π2[.
Calculer H(1).
Pour tout x∈[0, +∞[ , on pose F(x)=g(x)(H∘tan)(x)
Commentaires
Faraz ahmed (non vérifié)
sam, 04/27/2024 - 12:48
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Sujets de bac C du Burkina
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