Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2018

 

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v) ; unité graphique : 2cm. 
 
On considère l'application h du plan P privé du point O qui, à tout point M d'affixe z associe le point M d'affixe z=h(z) telle que h(z)=2z22.
 
Soient A et B deux points d'affixes respectives a et b avec a0 et b0
 
1) Démontrer que pour tout complexe z0, h(z)h(a)=2(zaaz)
 
En déduire que pour tout z différent de 0, de a et de b h(z)h(b)h(z)h(a)=ab(zbza)
 
2) Dans toute la suite de l'exercice, on prend a=1i  et  b=ˉa 
 
a) Vérifier que h(a)=a  et  h(b)=b
 
b) En déduire que pour tout complexe z non nul différent de a et b, on a b(z)bh(z)a=i(zbza)
 
3) On pose z0=i et pour tout entier naturel n, zn+1=h(zn).
 
On désigne par Mn le point d'affixe zn.
 
a) Calculer AM0BM0, z1 et z2
 
b) Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que AMnBMn=5 pour tout naturel n
 
4) On pose pour tout point M du plan et f une application du plan P dans R : f(M)=AM25BM2
 
a) Déterminer l'affixe du point G barycentre du système : {(A, 1) ; (B, 5)}
 
b) Calculer f(G)

Exercice 2

L'espace E est muni d'un repère (O, u, v, k) orthonormal.
 
On donne A, B, C, D, E des points de E définis respectivement par les triplets de coordonnées suivants : A(1 ; 1 ; 0), B(2 ; 0 ; 1), C(1 ; 1 ; 0) et D(2 ; 0 ; 1).
 
Soient a et b deux nombres réels. On désigne par le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 1a  et  a.
 
Enfin on appelle G le barycentre des points P et Q affecté respectivement des coefficients 1+b  et  1b
 
1) a) Calculer, en fonction de a les coordonnées des points P et Q
 
b) Montrer que G a pour coordonnées (a+b ; ab ; ab)
 
2) a) Le réel a étant supposé fixé (a0), montrer que l'ensemble des points G obtenus quand b varie est une droite (Da) dont on donnera les équations paramétrées en fonction de a et un vecteur directeur
 
b) Le réel b étant supposé fixé (b0), montrer que l'ensemble des points G obtenus quand a varie est une droite (Db) dont on donnera les équations paramétrées en fonction de b et un vecteur directeur
 
3) a) Montrer que l'ensemble S des points G obtenus lorsque (a, b)R2 est partie de l'ensemble S des points dont les coordonnées vérifient x2y2=4z
 
b) On désigne par P le plan d'équation z=1
 
Déterminer la nature et l'excentricité de SP

Problème

Partie A

On considère la fonction g définie sur [0, +[ par g(x)=e2x1. 
 
1) Calculer g(x) et étudier le sens de variation de g.
 
2) Calculer limx+g(x)  et  limx+g(x)x.
 
Quelle conséquence graphique a-t-on ?
 
3) Dresser le tableau de variations de g
4) Montrer que g réalise une bijection de [0, +[ vers un intervalle J que l'on précisera.
 
Tracer la courbe g et celle de g1 dans un repère orthonormal (O, i, j), g1 étant la réciproque de g. Unité : 2cm.

Partie B

Soit G la fonction définie sur [0, +[ par : G(x)=x0g(t)dt
 
1) Pour tout xR, on pose H(x)=x0dt1+t2 
 
a) Montrer que la fonction H est dérivable sur R et calculer H(x)
 
b) Calculer (Htan)(x) pour tout x]π2, π2[.
 
En déduire que (Htan)(x)=x, pour tout x]π2, π2[.
 
Calculer H(1).
 
Pour tout x[0, +[ , on pose F(x)=g(x)(Htan)(x)

 

Commentaires

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