Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2015
Exercice 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ d'unité $1\,cm.$
On définit la courbe $(\mathcal{C})$ paramétriquement par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&t+2\sin t+\dfrac{1}{2}\sin 2t\\\\ y(t)&=&(1+\cos t)^{2} \end{array}\right.$$
1) Comparer la position des points $M(t)$ et $M(-t).$
En déduire un axe de symétrie à la courbe
2) Soit $M$ un point de paramètre $t$ et $M$, un point de paramètre $t+2\pi.$
Déterminer le vecteur $\overrightarrow{MM'}.$
En déduire que est l'image $M'$ est l'image de $M$ par la translation d'un vecteur $\vec{u}$ que l'on précisera.
3) On appelle $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ l'arc de la courbe $(\mathcal{C})$ correspondant à $t\in[0\;,\ \pi]$ et $\left(\mathcal{C_{2}}\right)$ la partie de $(\mathcal{C})$ correspondant à $[-\pi\;,\ 3\pi].$
Montrer que $\left(\mathcal{C_{2}}\right)$ peut se déduire de $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ par une réflexion suivie de la translation de vecteur $\vec{u}.$
4) Étudier les variations de $x$ et $y$ sur $[0\;,\ \pi]$ et résumer les résultats dans un tableau de variation commun.
5) Tracer l'arc $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ de $(\mathcal{C}).$
En déduire le tracer de la courbe $\left(\mathcal{C_{2}}\right)$
$($On admettra qu'au point de paramètre $\pi$ la tangente a pour vecteur directeur $\vec{i}.)$
Exercice 2
L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O\;, \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$
On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $B(-2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(-2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ et $Q$ d'équation cartésienne $x-2y+4z-9=0$
1. a) Démontrer que $\mathcal{P}$ et $Q$ sont perpendiculaires
b) Démontrer que l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $Q$ est la droite $(\Delta)$ passant par le point $C(-7\ ;\ -8\ ;\ 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2\ ;\ 3;\ 1)$
c) Soit le point $A(-5\ ;\ 2\ ;\ 1).$
Calculer les distances de $A$ à $\mathcal{P}$ et de $A$ à $Q$
d) Déterminer la distance de $A$ à $(\Delta)$
2. a) Soit, pour tout nombre réel $t$, le point $M_{t}$ de coordonnées $(-1+2t\ ;\ 1+3t\ ;\ 3+t).$
Déterminer en fonction de $t$, la longueur $AM_{t}.$
On note $\varphi(t)$ cette longueur.
On définit ainsi une fonction $\varphi$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}.$
b) Étudier le sens de variation de $\varphi$ sur $\mathbb{R}$ puis préciser son minimum
c) interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.
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