Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2015

 

Exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j) d'unité 1cm. 
 
On définit la courbe (C) paramétriquement par :
{x(t)=t+2sint+12sin2ty(t)=(1+cost)2
 
1) Comparer la position des points M(t)  et  M(t). 
 
En déduire un axe de symétrie à la courbe
 
2) Soit M un point de paramètre t et M, un point de paramètre t+2π. 
 
Déterminer le vecteur MM. 
 
En déduire que est l'image M est l'image de M par la translation d'un vecteur u que l'on précisera.
 
3) On appelle (C1) l'arc de la courbe (C) correspondant à t[0, π] et (C2) la partie de (C) correspondant à [π, 3π]. 
 
Montrer que (C2) peut se déduire de (C1) par une réflexion suivie de la translation de vecteur u.
 
4) Étudier les variations de x et y sur [0, π] et résumer les résultats dans un tableau de variation commun.
 
5) Tracer l'arc (C1) de (C). 
 
En déduire le tracer de la courbe (C2)
 
(On admettra qu'au point de paramètre π la tangente a pour vecteur directeur i.)

Exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormal (O,i, j, k).
 
On considère le plan P passant par le point B(2 ; 1 ; 1) et de vecteur normal n(2 ; 1 ; 1) et Q d'équation cartésienne x2y+4z9=0
 
1. a) Démontrer que P et Q sont perpendiculaires
 
b) Démontrer que l'intersection des plans P et Q est la droite (Δ) passant par le point C(7 ; 8 ; 0) et de vecteur directeur u(2 ; 3; 1)
 
c) Soit le point A(5 ; 2 ; 1). 
 
Calculer les distances de A à P et de A à Q
 
d) Déterminer la distance de A à (Δ)
 
2. a) Soit, pour tout nombre réel t, le point Mt de coordonnées (1+2t ; 1+3t ; 3+t).
 
Déterminer en fonction de t, la longueur AMt. 
 
On note φ(t) cette longueur.
 
On définit ainsi une fonction φ de R dans R.
 
b) Étudier le sens de variation de φ sur R puis préciser son minimum
 
c) interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.

 

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