Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2015
Exercice 1
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, →i, →j) d'unité 1cm.
On définit la courbe (C) paramétriquement par :
{x(t)=t+2sint+12sin2ty(t)=(1+cost)2
1) Comparer la position des points M(t) et M(−t).
En déduire un axe de symétrie à la courbe
2) Soit M un point de paramètre t et M, un point de paramètre t+2π.
Déterminer le vecteur →MM′.
En déduire que est l'image M′ est l'image de M par la translation d'un vecteur →u que l'on précisera.
3) On appelle (C1) l'arc de la courbe (C) correspondant à t∈[0, π] et (C2) la partie de (C) correspondant à [−π, 3π].
Montrer que (C2) peut se déduire de (C1) par une réflexion suivie de la translation de vecteur →u.
4) Étudier les variations de x et y sur [0, π] et résumer les résultats dans un tableau de variation commun.
5) Tracer l'arc (C1) de (C).
En déduire le tracer de la courbe (C2)
(On admettra qu'au point de paramètre π la tangente a pour vecteur directeur →i.)
Exercice 2
L'espace est muni d'un repère orthonormal (O,→i, →j, →k).
On considère le plan P passant par le point B(−2 ; 1 ; 1) et de vecteur normal →n(−2 ; 1 ; 1) et Q d'équation cartésienne x−2y+4z−9=0
1. a) Démontrer que P et Q sont perpendiculaires
b) Démontrer que l'intersection des plans P et Q est la droite (Δ) passant par le point C(−7 ; −8 ; 0) et de vecteur directeur →u(2 ; 3; 1)
c) Soit le point A(−5 ; 2 ; 1).
Calculer les distances de A à P et de A à Q
d) Déterminer la distance de A à (Δ)
2. a) Soit, pour tout nombre réel t, le point Mt de coordonnées (−1+2t ; 1+3t ; 3+t).
Déterminer en fonction de t, la longueur AMt.
On note φ(t) cette longueur.
On définit ainsi une fonction φ de R dans R.
b) Étudier le sens de variation de φ sur R puis préciser son minimum
c) interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.
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