Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2010

 

Exercice 1

Le plan P est muni d'un repère orthonormal direct (O, u, v). A tout point M du plan P de coordonnées (x ; y), on associe son affixe z=x+iy. On appelle (Γ) l'ensemble des points M du plan dont l'affixe z satisfait la relation |z+iˉzz|=|z12(1+i)|.
 
1) Déterminer une équation cartésienne de (Γ) de le repère (O, u, v).
 
2) Soit (O, a, b). le repère image du repère (O, u, v). dans la rotation de centre O et d'angle
de mesure π4.
 
On désigne par (x ; y) les coordonnées d'un point M dans (O, u, v) et par (X, Y) les coordonnées de M dans (O, a, b) 
 
a) Exprimer x et y en fonction de X et Y.
 
b) Déterminer une équation de (Γ) dans le repère (O, a, b).
 
3) a) Montrer que (Γ) est une parabole de sommet Ω dont on précisera les coordonnées dans (O, a, b).
 
b) Donner les coordonnées du foyer et une équation cartésienne de la directrice dans le repère (Ω, a, b).
 
c) Construire (Γ) ; on donne ||u||=5cm.

Exercice 2

Dans un repère orthonormal (O, i, j) du plan, on considère la courbe (C) de représentation paramétrique :
{x(t)=1costy(t)=1tan2x,tR{π2+kπ, kZ}
 
1) a) Pour tout tR{π2+kπ, kZ}, comparer les points M(t+2π) et M(t), puis les points M(t) et M(t).
 
b) On note (C1) la partie de (C) obtenue lorsque t décrit l'ensemble [0 ; π2[]π2 ; π].
 
Quelle relation y a-t-il entre (C) et (C1).
 
2) a) Pour tout tR{π2+kπ, kZ}, comparer les points M(πt) et M(t).
 
b) Soit (C2) la partie de (C) obtenue lorsque t décrit ]0 ; π2[.
 
Comment obtient-on (C1) à partir de (C2) ?
 
3) a) Dresser le tableau de variation conjoint des fonctions x : t1cost et y : t1tan2x sur l'intervalle [0 ; π2].
 
b) Montrer que (C2) est une partie de la parabole (P) d'équation y=2x2 que l'on précisera.
 
2) Déterminer une équation de la tangente à (C) au point de  paramètre π4.
 
3) Construire la courbe (C).

 

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En travailant durement

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