Solution des exercices : Rotations et polygones réguliers - 4e

 

1) Définissons un angle au centre.

 

On appelle angle au centre, un angle dont le sommet est le centre d'un cercle.

 

2) En utilisant la figure ci-dessous ; nommons les angles au centre.

Nous observons les angles au centre suivants :

 

$\widehat{OFD}\;,\ \widehat{OFE}\;,\ \widehat{OFC}\;,\ \widehat{OFA}\;,\ \widehat{OFB}$

 

$\widehat{ODE}\;,\ \widehat{ODC}\;,\ \widehat{ODA}\;,\ \widehat{ODB}\;,\ \widehat{OEC}$

 

$\widehat{OEA}\;,\ \widehat{OEB}\;,\ \widehat{OCA}\;,\ \widehat{OCB}\;,\ \widehat{OAB}$

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $3\;cm.\ \widehat{ENS}$ est un angle au centre. Complétons le tableau suivant : On donne $\pi=3.$

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline mes\ \widehat{ENS}&30^{\circ}&&126^{\circ}&\\\hline\text{Longueur de l'arc}&&&&\\\text{intercepté par}&&\dfrac{2\pi}{3}&&\dfrac{\pi}{3}\\ \widehat{ENS}\text{ en }cm&&&&\\\hline\end{array}$$

Pour compléter le tableau, on procède comme suit :

 

En effet, comme $\widehat{ENS}$ est un angle au centre alors, son sommet $N$ est confondu au point $O$ centre du cercle $\mathcal{C}.$

 

Soit : $\ell$ la longueur de l'arc intercepté par l'angle $\widehat{ENS}$

 

Alors, on a :

$$\ell=r\times mes\,\widehat{ENS}\quad\text{et donc,}\quad mes\,\widehat{ENS}=\dfrac{\ell}{r}$$

avec $r=3\;cm$ rayon du cercle $\mathcal{C}\ $ et $\ mes\,\widehat{ENS}$ en radian.

 

Soit la correspondance suivante :

$$\begin{array}{rcl} 180^{\circ}&\longrightarrow&\pi\;rad\\\\\alpha^{\circ}&\longrightarrow&x\;rad\end{array}$$

En appliquant la propriété de proportionnalité, on obtient :

$$\dfrac{x}{\pi}=\dfrac{\alpha}{180}$$

Par suite,

 

$$x=\dfrac{\alpha\times\pi}{180}\;rad$$

 

Ainsi,

 

$-\ $ pour $\alpha=30^{\circ}$, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{30\times\pi}{180}\\\\&=&\dfrac{\pi}{6}\end{array}$

 

D'où, $\ell=3\times\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$

 

$-\ $ pour $\alpha=126^{\circ}$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{126\times\pi}{180}\\\\&=&\dfrac{7\pi}{10}\end{array}$

 

Ce qui donne, $\ell=3\times\dfrac{7\pi}{10}=\dfrac{21\pi}{10}$

 

Par ailleurs,

 

$-\ $ Si $\ell=\dfrac{\pi}{3}$ alors,

 

$\begin{array}{rcl} mes\,\widehat{ENS}&=&\dfrac{\dfrac{\pi}{3}}{3}\\\\&=&\dfrac{\pi}{9}\\\\&=&20^{\circ}\end{array}$

 

$-\ $ Si $\ell=\dfrac{2\pi}{3}$ alors,

 

$\begin{array}{rcl} mes\,\widehat{ENS}&=&\dfrac{\dfrac{2\pi}{3}}{3}\\\\&=&\dfrac{2\pi}{9}\\\\&=&40^{\circ}\end{array}$

 

On obtient alors le tableau suivant :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline mes\ \widehat{ENS}&30^{\circ}&40^{\circ}&126^{\circ}&20^{\circ}\\ \hline\text{Longueur de l'arc}&&&&\\ \text{intercepté par}&1.5&2&6.3&1\\ \widehat{ENS}\text{ en }cm&&&&\\ \hline\end{array}$$

Soient $[MN]\ $ et $\ [M'N']$ deux segments de même longueur dont les supports ne sont pas parallèles.

 

1) Faisons une figure.

2) Par une certaine rotation, l'image de $M$ est $M'$ et l'image de $N$ est $N'.$

 

3) Construisons le centre $O$ de cette rotation.

 

En effet, soit $(d_{1})$ la médiatrice du segment $[MM']$ alors, tout point de $(d_{1})$ est équidistant des points $M\ $ et $\ M'.$

 

Par suite, le centre $O$ de la rotation qui transforme $M$ en $M'$ appartient à $(d_{1}).$

 

De la même manière, soit $(d_{2})$ la médiatrice du segment $[NN']$ alors, le centre $O$ de la rotation qui transforme $N$ en $N'$ appartient à $(d_{2}).$

 

Par conséquent, le centre $O$ de cette rotation est le point de rencontre des médiatrices $(d_{1})\ $ et $\ (d_{2})$ des segments $[MM']\ $ et $\ [NN']$ respectivement.