Corrigé devoir n°1 maths - 2nd s

Classe: 
Seconde
 

Exercice 1

a, b a, b  et  c c sont des réels non nuls.
 
1) Si ab=abab=ab alors, on a :
 
1a1b=baab=(ab)ab=1
 
Ainsi, 1a1b=1
 
2) Si 1a=1b+1c alors, on a :
 
1c=1a1b1c=baabc=abba
 
D'où, c=abba
 
3) Simplifions le quotient A=a8b6c4a3b2ca10b8c6a5b4c3
 
On a :
 
A=a8b6c4a3b2ca10b8c6a5b4c3=a3b2c(a5b4c31)a5b4c3(a5b4c31)=a3b2ca5b4c3=1a2b2c2
 
Donc, A=1a2b2c2
 
4) Montrons que si ab=bc alors, a2+b2c2+b2=ac  et  a2+b2c2+b2+a2b2c2b2=0
 
Soit : ab=bc alors, on a : ac=b2.
 
Supposons que cette dernière égalité soit vraie. Montrons alors que a2+b2c2+b2=ac.
 
En effet, le produit des extrêmes de cette égalité de quotients vaut c(a2+b2) et celui des moyens vaut a(c2+b2)
 
La différence de ces deux termes donne :
 
c(a2+b2)a(c2+b2)=ca2+cb2ac2ab2=ca2ac2+cb2ab2=ac(ac)+b2(ca)=(ac)(acb2);or, ac=b2=0
 
Ce qui prouve qu'on a bien : a2+b2c2+b2=ac
 
Par ailleurs, l'égalité a2+b2c2+b2+a2b2c2b2=0, est équivalente a :
a2+b2c2+b2=b2a2c2b2
Soit alors, (a2+b2)(c2b2) le produit des extrêmes et (c2+b2)(b2a2) celui des moyens.
 
La différence de ces deux termes donne :
 
(a2+b2)(c2b2)(c2+b2)(b2a2)=a2c2a2b2+b2c2b4c2b2+c2a2b4+b2a2=2(a2c2b4)
 
Or, par hypothèse, on a :
 
ac=b2a2c2=b4a2c2b4=0
 
Ce qui démontre qu'on a bien : a2+b2c2+b2+a2b2c2b2=0

Exercice 2

1) Factorisons les expressions suivantes :
 
E=(a+b)2(c+d)2+(a+c)2(b+d)2=[(a+b)(c+d)][(a+b)+(c+d)]+[(a+c)(b+d)][(a+c)+(b+d)]=(a+bcd)(a+b+c+d)+(a+cbd)(a+c+b+d)=[a+b+c+d][(a+bcd)+(a+cbd)]=(a+b+c+d)(a+bcd+a+cbd)=(a+b+c+d)(2a2d)=2(a+b+c+d)(ad)
 
Ainsi, E=2(ad)(a+b+c+d)
 
F=a4b4+2ab(a2b2)(a3b3)+ab2a2b=(a2b2)(a2+b2)+2ab(a2b2)[(ab)(a2+ab+b2)]ab(ab)=(a2b2)(a2+b2+2ab)(ab)(a2+ab+b2+ab)=(a2b2)(a+b)2(ab)(a2+2ab+b2)=(a2b2)(a+b)2(ab)(a+b)2=(a+b)(ab)(a+b)2(ab)(a+b)2=(ab)(a+b)2(a+b1)
 
Donc, F=(ab)(a+b)2(a+b1)
 
G=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc=a2b+ca2+b2c+bc2+(ab2+c2a+2abc)=a2b+ca2+b2c+bc2+a(b2+c2+2bc)=a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2=(b+c)(a2+bc+a(b+c))=(b+c)(a2+bc+ab+ac)=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]=(b+c)(a+b)(a+c)
 
D'où, G=(b+c)(a+b)(a+c)
 
2) Vérifions que, pour tout réel x, l'identité : x2x+1=(x12)2+34
 
Soit :
 
(x12)2+34=x2x+14+34=x2x+1
 
Ce qui vérifie bien l'égalité :
xR; x2x+1=(x12)2+34
Rappel : le second membre de cette égalité est appelé forme canonique de x2x+1.
 
En déduisons l'ensemble de définition de la fonction Q=x3+2x2+2x+1x3+1, puis simplifions Q.
 
Soit : Q=x3+2x2+2x+1x3+1=x3+2x2+2x+1(x+1)(x2x+1)
 
Alors, Q(x) existe si, et seulement si, (x+1)0  et  (x2x+1)0
 
Or, x2x+1=(x12)2+34>0 donc, xR; x2x+10
 
Par suite, Q(x)x1
 
D'où, DQ=R{1}
 
Simplifions Q
 
On constate que 1 est racine évidente du numérateur.
 
On peut alors factoriser le numérateur de Q par (x+1).
 
Ainsi, il existe un polynôme R(x) tel que x3+2x2+2x+1=(x+1)×R(x)
 
Par division euclidienne, on a :
  x3+2x2+2x+1x3x20x2+2x+1x2x0+x+1x10 x+1x2+x+1
Donc, R(x)=x2+x+1
 
Par suite,
 
Q(x)=x3+2x2+2x+1x3+1=(x+1)(x2+x+1)(x+1)(x2x+1)=x2+x+1x2x+1
 
D'où, Q(x)=x2+x+1x2x+1

Exercice 3

1) a  et  b sont des réels non nuls. Démontrons les identités :
 
a) Soit : a+b>0  et  12(a+a2b)+12(aa2b)>0 alors, l'égalité a+b=12(a+a2b)+12(aa2b) est équivalente à :
(a+b)2=(12(a+a2b)+12(aa2b))2
Posons A=a+b alors, on a :
 
A2=(a+b)2=a+b
 
Par ailleurs, posons : B=12(a+a2b)+12(aa2b) alors,
 
B2=(12(a+a2b)+12(aa2b))2=(12(a+a2b))2+212(a+a2b)×12(aa2b)+(12(aa2b))2=12(a+a2b)+12(aa2b)+214(a+(a2b)(a(a2b))=a+a2(a2b)2=a+a2a2+b=a+b
 
Ainsi, A2=B2
 
D'où, le résultat.
 
b) Soit : ab=12(a+a2b)12(aa2b)>0
 
De la même manière, en élevant au carré le premier et le second membre de cette égalité, on obtient :
 
{(ab)2=ab(12(a+a2b)12(aa2b))2=ab
 
D'où, ab=12(a+a2b)12(aa2b)
 
2) En déduisons une écriture sous la forme x+y ou xy de chacun des réels :
2+3,35,4+15
D'après la question 1) a), on peut écrire :
 
2+3=12(2+223)+12(2223)=12(2+43)+12(243)=12(2+1)+12(21)=32+12
 
Donc, 2+3=32+12
 
D'après la question 1) b), on peut écrire :
 
35=12(3+325)12(3325)=12(3+95)12(395)=12(3+4)12(34)=12(3+2)12(32)=5212
 
Ainsi, 35=5212
 
De la même manière, on a :
 
4+15=12(4+4215)+12(44215)=12(4+1615)+12(41615)=12(4+1)+12(41)=52+32
 
D'où, 4+15=52+32
 
Simplifier la somme S=12+3+23514+15
 
On a :
 
S=12+3+23514+15=132+12+25212152+32=23+1+225125+3=2(31)(3+1)(31)+22(5+1)(51)(5+1)2(53)(5+3)(53)=6231+2(10+2)5110653=622+2(10+2)41062=62+10+210+62=6
 
D'où, S=6

Exercice 4

a, b  et  c sont des réels tels que a+b+c=1.
 
On admettra dans tout ce qui suit l'identité :
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc
1) Montrons que : a3+b3+c3=1+3(a1)(b1)(c1)
 
On a : a3+b3+c3=(a+b+c)3(3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc)
 
Comme a+b+c=1 alors, (a+b+c)3=1
 
Donc,
 
a3+b3+c3=13(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc)
 
Par ailleurs, on a :
 
a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=(b+c)(a+c)(a+b)
 
Or, a+b+c=1  {b+c=1aa+c=1ba+b=1c
 
Ainsi, en remplaçant, on obtient :
 
a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc=(b+c)(a+c)(a+b)=(1a)(1b)(1c)=(a1)(b1)(c1)
 
Par suite,
 
a3+b3+c3=13(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc)=1+3(a1)(b1)(c1)
 
D'où, a3+b3+c3=1+3(a1)(b1)(c1)
 
2) Calculons a, b, c sachant que : a3+b3+c3=7 et que a, b  et  c sont des entiers rationnels de produit nul.
 
D'après la question 1), on a : a3+b3+c3=1+3(a1)(b1)(c1)
 
Or, a3+b3+c3=7
 
Donc,
 
1+3(a1)(b1)(c1)=73(abc=0abbcac+a+b+c=11)=71(ab+bc+ac)=63ab+bc+ac=2
 
Ainsi,
{a+b+c=1ab+bc+ac=2abc=0
Par suite, les nombres a; b  et  c vérifient :
x3(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)xabc=0
Ce qui donne :
x3x22x=0
En résolvant cette équation, on obtient :
 
x3x22x=0x(x2x2)=0x=0  ou  x2x2=0
 
Pour le trinôme du second degré x2x2, on a :
 
Δ=9 donc, x1=22=1  et  x1=42=2
 
D'où, a=0; b=1; c=2
 
3) Résolvons dans R l'équation d'inconnue x, (2x+3)3+(3x4)3+(5x+2)3=1
 
On a : (2x+3)+(3x4)+(5x+2)=1
 
Donc, en appliquant le résultat de la question 1), on obtient :
 
(2x+3)3+(3x4)3+(5x+2)3=1+3(2x+31)(3x41)(5x+21)=1+3(2x+2)(3x5)(5x+1)
 
Ainsi,
 
(2x+3)3+(3x4)3+(5x+2)3=11+3(2x+2)(3x5)(5x+1)=13(2x+2)(3x5)(5x+1)=113(2x+2)(3x5)(5x+1)=0(2x+2)(3x5)(5x+1)=0(2x+2)=0  ou  (3x5)=0  ou  (5x+1)=02x=2  ou  3x=5  ou  5x=1x=1  ou  x=53  ou  x=15
 
D'où, S={1; 53; 15}
 

 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Exercice 1 Question 2(c a une valeur numérique qui est 1)

a-b=AB est valable que pour la première question donc tu ne peux pas utiliser a-b=0 mais plutôt ce qu'on t'a donné

C abordable

c7 pas mal

Ajouter un commentaire