Corrigé devoir n°1 maths - 2nd s
Classe:
Seconde
Exercice 1
a, b a, b et c c sont des réels non nuls.
1) Si a−b=aba−b=ab alors, on a :
1a−1b=b−aab=−(a−b)ab=−1
Ainsi, 1a−1b=−1
2) Si 1a=1b+1c alors, on a :
1c=1a−1b⇒1c=b−aab⇒c=abb−a
D'où, c=abb−a
3) Simplifions le quotient A=a8b6c4−a3b2ca10b8c6−a5b4c3
On a :
A=a8b6c4−a3b2ca10b8c6−a5b4c3=a3b2c(a5b4c3−1)a5b4c3(a5b4c3−1)=a3b2ca5b4c3=1a2b2c2
Donc, A=1a2b2c2
4) Montrons que si ab=bc alors, a2+b2c2+b2=ac et a2+b2c2+b2+a2−b2c2−b2=0
Soit : ab=bc alors, on a : ac=b2.
Supposons que cette dernière égalité soit vraie. Montrons alors que a2+b2c2+b2=ac.
En effet, le produit des extrêmes de cette égalité de quotients vaut c(a2+b2) et celui des moyens vaut a(c2+b2)
La différence de ces deux termes donne :
c(a2+b2)−a(c2+b2)=ca2+cb2−ac2−ab2=ca2−ac2+cb2−ab2=ac(a−c)+b2(c−a)=(a−c)(ac−b2);or, ac=b2=0
Ce qui prouve qu'on a bien : a2+b2c2+b2=ac
Par ailleurs, l'égalité a2+b2c2+b2+a2−b2c2−b2=0, est équivalente a :
a2+b2c2+b2=b2−a2c2−b2
Soit alors, (a2+b2)(c2−b2) le produit des extrêmes et (c2+b2)(b2−a2) celui des moyens.
La différence de ces deux termes donne :
(a2+b2)(c2−b2)−(c2+b2)(b2−a2)=a2c2−a2b2+b2c2−b4−c2b2+c2a2−b4+b2a2=2(a2c2−b4)
Or, par hypothèse, on a :
ac=b2⇒a2c2=b4⇒a2c2−b4=0
Ce qui démontre qu'on a bien : a2+b2c2+b2+a2−b2c2−b2=0
Exercice 2
1) Factorisons les expressions suivantes :
E=(a+b)2−(c+d)2+(a+c)2−(b+d)2=[(a+b)−(c+d)][(a+b)+(c+d)]+[(a+c)−(b+d)][(a+c)+(b+d)]=(a+b−c−d)(a+b+c+d)+(a+c−b−d)(a+c+b+d)=[a+b+c+d][(a+b−c−d)+(a+c−b−d)]=(a+b+c+d)(a+b−c−d+a+c−b−d)=(a+b+c+d)(2a−2d)=2(a+b+c+d)(a−d)
Ainsi, E=2(a−d)(a+b+c+d)
F=a4−b4+2ab(a2−b2)−(a3−b3)+ab2−a2b=(a2−b2)(a2+b2)+2ab(a2−b2)−[(a−b)(a2+ab+b2)]−ab(a−b)=(a2−b2)(a2+b2+2ab)−(a−b)(a2+ab+b2+ab)=(a2−b2)(a+b)2−(a−b)(a2+2ab+b2)=(a2−b2)(a+b)2−(a−b)(a+b)2=(a+b)(a−b)(a+b)2−(a−b)(a+b)2=(a−b)(a+b)2(a+b−1)
Donc, F=(a−b)(a+b)2(a+b−1)
G=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc=a2b+ca2+b2c+bc2+(ab2+c2a+2abc)=a2b+ca2+b2c+bc2+a(b2+c2+2bc)=a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2=(b+c)(a2+bc+a(b+c))=(b+c)(a2+bc+ab+ac)=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]=(b+c)(a+b)(a+c)
D'où, G=(b+c)(a+b)(a+c)
2) Vérifions que, pour tout réel x, l'identité : x2−x+1=(x−12)2+34
Soit :
(x−12)2+34=x2−x+14+34=x2−x+1
Ce qui vérifie bien l'égalité :
∀x∈R; x2−x+1=(x−12)2+34
Rappel : le second membre de cette égalité est appelé forme canonique de x2−x+1.
En déduisons l'ensemble de définition de la fonction Q=x3+2x2+2x+1x3+1, puis simplifions Q.
Soit : Q=x3+2x2+2x+1x3+1=x3+2x2+2x+1(x+1)(x2−x+1)
Alors, Q(x) existe si, et seulement si, (x+1)≠0 et (x2−x+1)≠0
Or, x2−x+1=(x−12)2+34>0 donc, ∀x∈R; x2−x+1≠0
Par suite, Q(x)∃⇔x≠−1
D'où, DQ=R∖{−1}
Simplifions Q
On constate que −1 est racine évidente du numérateur.
On peut alors factoriser le numérateur de Q par (x+1).
Ainsi, il existe un polynôme R(x) tel que x3+2x2+2x+1=(x+1)×R(x)
Par division euclidienne, on a :
x3+2x2+2x+1−x3−x20−x2+2x+1−x2−x0+x+1−x−10 x+1x2+x+1
Donc, R(x)=x2+x+1
Par suite,
Q(x)=x3+2x2+2x+1x3+1=(x+1)(x2+x+1)(x+1)(x2−x+1)=x2+x+1x2−x+1
D'où, Q(x)=x2+x+1x2−x+1
Exercice 3
1) a et b sont des réels non nuls. Démontrons les identités :
a) Soit : √a+√b>0 et √12(a+√a2−b)+√12(a−√a2−b)>0 alors, l'égalité √a+√b=√12(a+√a2−b)+√12(a−√a2−b) est équivalente à :
(√a+√b)2=(√12(a+√a2−b)+√12(a−√a2−b))2
Posons A=√a+√b alors, on a :
A2=(√a+√b)2=a+√b
Par ailleurs, posons : B=√12(a+√a2−b)+√12(a−√a2−b) alors,
B2=(√12(a+√a2−b)+√12(a−√a2−b))2=(√12(a+√a2−b))2+2√12(a+√a2−b)×√12(a−√a2−b)+(√12(a−√a2−b))2=12(a+√a2−b)+12(a−√a2−b)+2√14(a+(√a2−b)(a−(√a2−b))=a+√a2−(√a2−b)2=a+√a2−a2+b=a+√b
Ainsi, A2=B2
D'où, le résultat.
b) Soit : √a−√b=√12(a+√a2−b)−√12(a−√a2−b)>0
De la même manière, en élevant au carré le premier et le second membre de cette égalité, on obtient :
{(√a−√b)2=a−√b(√12(a+√a2−b)−√12(a−√a2−b))2=a−√b
D'où, √a−√b=√12(a+√a2−b)−√12(a−√a2−b)
2) En déduisons une écriture sous la forme √x+√y ou √x−√y de chacun des réels :
√2+√3,√3−√5,√4+√15
D'après la question 1) a), on peut écrire :
√2+√3=√12(2+√22−3)+√12(2−√22−3)=√12(2+√4−3)+√12(2−√4−3)=√12(2+1)+√12(2−1)=√32+√12
Donc, √2+√3=√32+√12
D'après la question 1) b), on peut écrire :
√3−√5=√12(3+√32−5)−√12(3−√32−5)=√12(3+√9−5)−√12(3−√9−5)=√12(3+√4)−√12(3−√4)=√12(3+2)−√12(3−2)=√52−√12
Ainsi, √3−√5=√52−√12
De la même manière, on a :
√4+√15=√12(4+√42−15)+√12(4−√42−15)=√12(4+√16−15)+√12(4−√16−15)=√12(4+1)+√12(4−1)=√52+√32
D'où, √4+√15=√52+√32
Simplifier la somme S=1√2+√3+2√3−√5−1√4+√15
On a :
S=1√2+√3+2√3−√5−1√4+√15=1√32+√12+2√52−√12−1√52+√32=√2√3+1+2√2√5−1−√2√5+√3=√2(√3−1)(√3+1)(√3−1)+2√2(√5+1)(√5−1)(√5+1)−√2(√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√6−√23−1+2(√10+√2)5−1−√10−√65−3=√6−√22+2(√10+√2)4−√10−√62=√6−√2+√10+√2−√10+√62=√6
D'où, S=√6
Exercice 4
a, b et c sont des réels tels que a+b+c=1.
On admettra dans tout ce qui suit l'identité :
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc
1) Montrons que : a3+b3+c3=1+3(a−1)(b−1)(c−1)
On a : a3+b3+c3=(a+b+c)3−(3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc)
Comme a+b+c=1 alors, (a+b+c)3=1
Donc,
a3+b3+c3=1−3(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc)
Par ailleurs, on a :
a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=(b+c)(a+c)(a+b)
Or, a+b+c=1 ⇒ {b+c=1−aa+c=1−ba+b=1−c
Ainsi, en remplaçant, on obtient :
a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc=(b+c)(a+c)(a+b)=(1−a)(1−b)(1−c)=−(a−1)(b−1)(c−1)
Par suite,
a3+b3+c3=1−3(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc)=1+3(a−1)(b−1)(c−1)
D'où, a3+b3+c3=1+3(a−1)(b−1)(c−1)
2) Calculons a, b, c sachant que : a3+b3+c3=7 et que a, b et c sont des entiers rationnels de produit nul.
D'après la question 1), on a : a3+b3+c3=1+3(a−1)(b−1)(c−1)
Or, a3+b3+c3=7
Donc,
1+3(a−1)(b−1)(c−1)=7⇒3(abc⏟=0−ab−bc−ac+a+b+c⏟=1−1)=7−1⇒−(ab+bc+ac)=63⇒ab+bc+ac=−2
Ainsi,
{a+b+c=1ab+bc+ac=−2abc=0
Par suite, les nombres a; b et c vérifient :
x3−(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x−abc=0
Ce qui donne :
x3−x2−2x=0
En résolvant cette équation, on obtient :
x3−x2−2x=0⇔x(x2−x−2)=0⇔x=0 ou x2−x−2=0
Pour le trinôme du second degré x2−x−2, on a :
Δ=9 donc, x1=−22=−1 et x1=42=2
D'où, a=0; b=−1; c=2
3) Résolvons dans R l'équation d'inconnue x, (2x+3)3+(3x−4)3+(−5x+2)3=1
On a : (2x+3)+(3x−4)+(−5x+2)=1
Donc, en appliquant le résultat de la question 1), on obtient :
(2x+3)3+(3x−4)3+(−5x+2)3=1+3(2x+3−1)(3x−4−1)(−5x+2−1)=1+3(2x+2)(3x−5)(−5x+1)
Ainsi,
(2x+3)3+(3x−4)3+(−5x+2)3=1⇔1+3(2x+2)(3x−5)(−5x+1)=1⇔3(2x+2)(3x−5)(−5x+1)=1−1⇔3(2x+2)(3x−5)(−5x+1)=0⇔(2x+2)(3x−5)(−5x+1)=0⇔(2x+2)=0 ou (3x−5)=0 ou (−5x+1)=0⇔2x=−2 ou 3x=5 ou −5x=−1⇔x=−1 ou x=53 ou x=15
D'où, S={−1; 53; 15}
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 09/29/2022 - 21:21
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Exercice 1
Anonyme (non vérifié)
mer, 11/22/2023 - 20:42
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a-b=AB est valable que pour
Moussa fall (non vérifié)
dim, 11/06/2022 - 18:23
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C abordable
Anonyme (non vérifié)
ven, 09/29/2023 - 23:41
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Pdf
Anonyme (non vérifié)
lun, 10/21/2024 - 15:27
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c7 pas mal
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