Corrigé devoir n° 1 maths - 2nd L

 

1) L'amplitude de l'intervalle $[-5\;;\ -2]$ est $3.$

 

2) Le centre de l'intervalle $[-4\;;\ 6]$ est $1.$

 

3) La valeur  approchée à $0.002$ près par défaut de $43.01624$ est $43.018$

 

4) L'arrondi d'ordre $4$ de $43.01624$ est $43.01642$

 

5) L'ordre de grandeur de $0.000776$ est $8\times 10^{-4}$

1) Calculons

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{5}{7}-\dfrac{5}{9}+5\\\\&=&\dfrac{5\times 9}{7\times 9}-\dfrac{5\times 7}{9\times 7}+\dfrac{5\times 7\times 9}{7\times 9}\\\\&=&\dfrac{45}{63}-\dfrac{35}{63}+\dfrac{315}{63}\\\\&=&\dfrac{45-35+315}{63}\\\\&=&\dfrac{325}{63}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A=\dfrac{325}{63}}$

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{3}\right)\div\left(\dfrac{4}{3}-2\right)\\\\&=&\left(\dfrac{9}{6}+\dfrac{10}{6}\right)\div\left(\dfrac{4}{3}-\dfrac{6}{3}\right)\\\\&=&\left(\dfrac{19}{6}\right)\div\left(-\dfrac{2}{3}\right)\\\\&=&\left(\dfrac{19}{6}\right)\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\&=&-\dfrac{19\times 3}{6\times 2}\\\\&=&-\dfrac{19}{4}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{B=-\dfrac{19}{4}}$

 

Écrivons sous forme de $a\sqrt{b}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl}  C&=&5\sqrt{18}+5\sqrt{2}-3\sqrt{50}-3\sqrt{72}\\\\&=&5\sqrt{9\times 2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{25\times 2}-3\sqrt{36\times 2}\\\\&=&5\sqrt{9}\times\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{25}\times\sqrt{2}-3\sqrt{36}\times\sqrt{2}\\\\&=&5\times 3\times\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\times 5\times\sqrt{2}-3\times 6\times\sqrt{2}\\\\&=&15\sqrt{2}+5\sqrt{2}-15\sqrt{2}-18\sqrt{2}\\\\&=&-13\sqrt{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{C=-13\sqrt{2}}$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&12\sqrt{3}+4\sqrt{12}-3\sqrt{75}\\\\&=&12\sqrt{3}+4\sqrt{4\times 3}-3\sqrt{25\times 3}\\\\&=&12\sqrt{3}+4\sqrt{4}\times\sqrt{3}-3\sqrt{25}\times\sqrt{3}\\\\&=&12\sqrt{3}+4\times 2\times\sqrt{3}-3\times 5\times\sqrt{3}\\\\&=&12\sqrt{3}+8\sqrt{3}-15\times\sqrt{3}\\\\&=&5\sqrt{3}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=5\sqrt{3}}$

 

2) L'écriture scientifique de $E=743.13\times 10^{-9}$ est donnée par :

$$E=7.4313\times 10^{-7}$$

1) Comparons les nombres suivants

 

a) $16\ $ et $\ 9\sqrt{2}$

 

On a : $16>0\ $ et $\ 9\sqrt{2}>0$ donc, comparer ces nombre revient à comparer leur carré et le plus grand est celui dont le carré est le plus grand.

 

Soit : $16^{2}=256\ $ et $\ (9\sqrt{2})^{2}=81\times 2=162$

 

$256>162$ donc, $16$ est supérieur à $9\sqrt{2}$

 

b) $-4\sqrt{3}\ $ et $\ -5$

 

On a : $(-4\sqrt{3})^{2}=16\times 3=48\ $ et $\ (-5)^{2}=25$

 

Comme $-4\sqrt{3}\ $ et $\ -5$ sont tous les deux négatifs alors, le plus grand est celui avec le plus petit carré.

 

Or, $48>25$

 

Par suite, $-4\sqrt{3}$ est inférieur à $-5$

 

2) a) Donnons un encadrement de $x$ sachant que

$$10.2<x-8<10.3$$

En ajoutant $8$ à chaque membre de l'inégalité, on obtient :

 

$10.2+8<x-8+8<10.3+8$

 

D'où, $\boxed{18.2<x<18.3}$

 

b) On donne : $1.3<x<1.4\ $ et $\ 3.5<y<3.6$

 

Encadrons : $$x+y\ ;\ x-y\ ;\ x\times y\ \text{ et }\ \dfrac{x}{y}$$

 

En sommant membre à membre, on obtient :

 

$1.3+3.5<x+y<1.4+3.6$

 

Ce qui donne : $\boxed{4.8<x+y<5}$

 

Encadrons d'abord $-y$, en sachant que les inégalités changent de sens :

 

On a : $-3.6<-y<-3.5$

 

Par suite, $1.3-3.6<x-y<1.4-3.5$

 

D'où, $\boxed{-2.3<x-y<-2.1}$

 

Pour l'encadrement de $x\times y$, on fait le produit membre à membre.

 

Ainsi, $1.3\times 3.5<x\times y<1.4\times 3.6$

 

D'où, $\boxed{4.5<x\times y<5.0}$

 

Encadrons d'abord $\dfrac{1}{y}$, en sachant que les inégalités changent de sens :

 

Soit : $\dfrac{1}{3.6}<\dfrac{1}{y}<\dfrac{1}{3.5}$

 

En faisant le produit avec l'encadrement de $x$, on obtient :

 

$\dfrac{1}{3.6}\times 1.3<\dfrac{x}{y}<\dfrac{1}{3.5}\times 1.4$

 

D'où, $\boxed{0.3<\dfrac{x}{y}<0.4}$

 

3) Déterminons $I\cap J\ $ et $\ I\cup J$ dans les cas suivants

 

a) $I=[-1\;;\ 2]\ $ et $\ J=]-\infty\;;\ 0[$

 

$I\cap J=[-1\;;\ 0[\ $ et $\ I\cup J=]-\infty\;;\ 2]$

 

b) $I=]3\;;\ +\infty[\ $ et $\ J=[-3\;;\ 3]$

 

$I\cap J=\emptyset\ $ et $\ I\cup J=[-3\;;\ +\infty[$

 

4) Résolvons dans $\mathbb{R}$

 

a) $|x-3|=4$

 

$\begin{array}{rcl}|x-3|=4&\Leftrightarrow&x-3=4\  \text{ ou }\  x-3=-4\\\\&\Leftrightarrow&x=4+3\  \text{ ou }\  x=-4+3\\\\&\Leftrightarrow&x=7\  \text{ ou }\  x=-1\\\\&\Leftrightarrow& x\in\;\{-1\;;\ 7\}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{S=\{-1\;;\ 7\}}$

 

b) $|x-2|\leq 5$

 

$\begin{array}{rcl}|x-2|\leq 5&\Leftrightarrow&-5\leq x-2\leq 5\\\\&\Leftrightarrow&-5+2\leq x-2+2\leq 5+2\\\\&\Leftrightarrow&-3\leq x\leq 7\\\\&\Leftrightarrow& x\in\;[-3\;;\ 7]\end{array}$

 

D'où, $\boxed{S=[-3\;;\ 7]}$

 

c) $|x-6|\geq 2$

 

$\begin{array}{rcl}|x-6|\geq 2&\Leftrightarrow&x-6\geq 2\  \text{ ou }\  x-6\leq -2\\\\&\Leftrightarrow&x\geq 2+6\  \text{ ou }\  x\leq -2+6\\\\&\Leftrightarrow&x\geq 8\  \text{ ou }\  x\leq 4\\\\&\Leftrightarrow&x\in\;]-\infty\;;\ 4]\cup[8\;;\ +\infty[\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{S=]-\infty\;;\ 4]\cup[8\;;\ +\infty[}$