Solution des exercices : Effet Photoélectrique - Ts

 

a) Calcul du travail d'extraction $W_{O}$

 

$$$\begin{array}{lll}{W}_0& =& E-E_C\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{h_C}{\lambda }}-E_C\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{6.62\cdot {10}^{-34}\times 3.00\cdot {10}^8}{0.150\cdot {10}^{-6}\times 1.6\cdot {10}^{-19}}}-4.8\\ \\ \Rightarrow W_0& =& 3.5eV\end{array}$$$

 

b) Nature du métal 

 

$$$\begin{array}{lll}{\lambda }_0& =& {\displaystyle \frac{h_C}{W_0}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{6.62\cdot {10}^{-34}\times 3.00\cdot {10}^8}{3.5\times 1.6\cdot {10}^{-19}}}\\ \\ \Rightarrow {\lambda }_0& =& 3.5\cdot {10}^{-7}\\ \\ & =& 0.35\mu m\end{array}$$$

 

La longueur d'onde seuil correspond à celle du zinc ; le métal est le zinc

 

c) Tension nécessaire pour arrêter cette émission

 

$$$\begin{array}{lll}e\left|U\right|& =& E_C\\ \\ \Rightarrow e\left|U\right|& =& 4.8eV\\ \\ \Rightarrow \left|U\right|& =& 4.8V\\ \\ \Rightarrow U& =& -4.8V\end{array}$$$

 

d) Pour augmenter la vitesse maximale d'émission, il faut changer la longueur d'onde de la lumière en la diminuant. 

1) Description d'une cellule photoélectrique dite cellule photoémissive à vide.

 

 

a) Énergie d'extraction $W_{O}$ d'un électron 

 

$$$\begin{array}{lll}{W}_0& =& {\displaystyle \frac{h_C}{{\lambda }_0}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{6.62\cdot {10}^{-34}\times 3\cdot {10}^8}{0.66\cdot {10}^{-6}}}\\ \\ \Rightarrow W_0& =& 3.0\cdot {10}^{-19}J\end{array}$$$ 

 

b) Détermination de l'énergie cinétique maximale $E_{C}$ d'un électron émis au niveau de la cathode. 

 

$$$\begin{array}{lll}{E}_C& =& {\displaystyle \frac{h_C}{\lambda }}-W_0\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{6.62\cdot {10}^{-34}\times 3\cdot {10}^8}{0.44\cdot {10}^{-6}}}-3.0\cdot {10}^{-19}\\ \\ \Rightarrow E_C& =& 4.5\cdot {10}^{-19}J\\ \\ E_C& =& {\displaystyle \frac{4.5\cdot {10}^{-19}}{1.6\cdot {10}^{-19}}}\\ \\ \Rightarrow E_C& =& 2.0eV\end{array}$$$

1) Expression de l'énergie cinétique de l'électron en fonction de la fréquence $\lambda$ et du travail d'extraction $W_{O}$

 

$E_{C}=\dfrac{h_{C}}{\lambda}-W_{0}$

 

2) Schéma du montage utilisé.

 

 

Expression de la tension d'arrêt en fonction de $\lambda$ et $W_{0}$

 

$$\begin{array}{rcl}eU& =& hv-W_0\\ \\ \Rightarrow U& =& {\displaystyle \frac{h}{e}}v-{\displaystyle \frac{W_0}{e}}\end{array}$$

 

3) Calcul des fréquences $\lambda$ des radiations utilisées  

 

$$\begin{array}{rcl}v& =& {\displaystyle \frac{c}{\lambda }}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3.0\cdot {10}^8}{0.60\cdot {10}^{-6}}}\\ \\ \Rightarrow v& =& 5\cdot {10}^{14}Hz;\end{array}$$

 

$v=6\cdot 10^{14}Hz$ ;

 

$v=7.5\cdot 10^{14}Hz$ ;

 

$v=10\cdot 10^{14}Hz$ 

   

4) Tracer la courbe représentant la fonction $U=f(υ)$ 

$$\begin{array}{|lcccc|}\hline U(V)& 0.19& 0.60& 1.22& 2.26\\ v(Hz)& 5\cdot {10}^{14}& 6\cdot {10}^{14}& 7.5\cdot {10}^{14}& 10\cdot {10}^{14}\\ \hline\end{array}$$

 

 

Fréquence $υ_{0}$ du seuil photoélectrique du césium.

 

$v_{0}=5\cdot 10^{14}Hz$

 

Longueur d'onde $\lambda_{0}$ du seuil photoélectrique.

 

$$\begin{array}{rcl}{\lambda }_0& =& {\displaystyle \frac{c}{v_0}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{5\cdot {10}^{14}}}\\ \\ \Rightarrow {\lambda }_0& =& 0.6\cdot {10}^{-6}m\end{array}$$

1) Expression de l'énergie d'un photon de fréquence $\lambda$

 

$E=\dfrac{h_{C}}{\lambda}$ 

  

Expression de l'énergie maximale des électrons émis par la cathode en fonction de $U_{0}$

 

$E_{\text{max}}=eU_{0}$

 

$$$\begin{array}{lll}E& =& E_{\text{max}}+W_0\\ \\ \Rightarrow hv& =& e{U}_0+W_0\\ \\ \Rightarrow U_0& =& {\displaystyle \frac{h}{e}}v-{\displaystyle \frac{W_0}{e}}\end{array}$$$ 

 

2) Représentation graphique des variations de $U_{0}$ en fonction de $v$

 

 

En déduire le seuil de fréquence $v_{0}$ de la cellule, la constante de Planck $h$ et $W_{0}$ (exprimé en électron-volt)

 

$v_{0}=5\cdot 10^{14}Hz$

 

$U_{0}=\dfrac{h}{e}v-\dfrac{W_{0}}{e}$ C'est une droite de coefficient directeur $\dfrac{h}{e}.$

 

$$$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{h}{e}}& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{U}_0}{\mathrm{\Delta }f}}\\ \\ \Rightarrow h& =& e\times {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{U}_0}{\mathrm{\Delta }f}}\\ \\ & =& 1.6\cdot {10}^{-19}\times {\displaystyle \frac{1.52-0}{8.5\cdot {10}^{14}-5\cdot {10}^{14}}}\\ \\ \Rightarrow h& =& 6.95\cdot {10}^{-34}J\cdot s\end{array}$$$

1) Détermination graphique l'équation de la courbe représentant $\left|U_{0}\right|=f\left(\dfrac{1}{\lambda}\right)$

 

 

C'est une de la forme : $\left|U_{0}\right|=a\dfrac{1}{\lambda}+b$

 

$$$\begin{array}{lll}a& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\left|U_0\right|}{\mathrm{\Delta }\left({\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\right)}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{1.5-0}{(3-1.5)\times {10}^6}}\\ \\ \Rightarrow a& =& {10}^{-6}\end{array}$$$                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

 

$$$\begin{array}{lll}\left|U_0\right|& =& 0\\ \\ \Rightarrow a{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}+b& =& 0\\ \\ \Rightarrow b& =& -a{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\\ \\ & =& -{10}^{-6}\times 1.5\cdot {10}^6\\ \\ \Rightarrow b& =& -1.5V\\ \\ \Rightarrow \left|U_0\right|& =& {10}^{-6}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}-1.5\end{array}$$$

 

2) a) Relation entre le potentiel d'arrêt $U_{0}$, le travail d'extraction $W_{0}$ d'un électron du métal de la cathode et l'énergie $W$ d'un photon incident.

 

$W=W_{0}+E_{C}=e\left|U_{0}\right|+W_{0}$

 

Expression de $\left|U_{0}\right|$ en fonction de $\dfrac{1}{\lambda}$ 

 

$$$\begin{array}{lll}W& =& e\left|U_0\right|+W_0\\ \\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{h_C}{\lambda }}& =& e\left|U_0\right|+W_0\\ \\ \Rightarrow \left|U_0\right|& =& {\displaystyle \frac{h_C}{e}}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}-{\displaystyle \frac{W_0}{e}}\end{array}$$$

 

b) Détermination de la valeur approchée de la constante de Planck $h$

 

$\left|U_{0}\right|=10^{-6}\dfrac{1}{\lambda}-1.5\ ;$

 

$$$\begin{array}{lll}\left|U_0\right|& =& {\displaystyle \frac{h_C}{e}}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}-{\displaystyle \frac{W_0}{e}}\\ \\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{h_C}{e}}& =& a\\ \\ \Rightarrow h& =& {\displaystyle \frac{ae}{c}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{{10}^{-6}\times 1.6\cdot {10}^{-19}}{3\cdot {10}^8}}\\ \\ \Rightarrow h& =& 5.4\cdot {10}^{-34}J\cdot s\end{array}$$$ 

 

Calcul de $W_{0}$

 

$-\dfrac{W_{0}}{e}=-1.5\Rightarrow\,W_{0}=1.5eV$

 

3) a) Calcul de l'énergie $W$

 

$$$\begin{array}{lll}W& =& {\displaystyle \frac{h_C}{\lambda }}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{6.62\cdot {10}^{-34}\times 3\cdot {10}^8}{0.588\cdot {10}^{-6}}}\\ \\ \Rightarrow W& =& 3.4\cdot {10}^{-19}J\end{array}$$$

 

d) Calcul de la vitesse maximale d'émission d'un électron par la cathode

 

$$$\begin{array}{lll}{E}_C& =& W-W_0\\ \\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2\Rightarrow v& =& \sqrt{{\displaystyle \frac{2}{m}}(W-W_0)}\\ \\ & =& \sqrt{{\displaystyle \frac{2}{9.1\cdot {10}^{-31}}}(3.4\cdot {10}^{-19}-1.5\times 1.6\cdot {10}^{-19})}\\ \\ \Rightarrow v& =& 4.7\cdot {10}^{5}m\cdot s^{-1}\end{array}$$$

1) Valeur $\lambda_{0}$ de la longueur d'onde du seuil photoélectrique

 

$$$\begin{array}{lll}{W}_0& =& {\displaystyle \frac{h_C}{{\lambda }_0}}\\ \\ \Rightarrow {\lambda }_0& =& {\displaystyle \frac{h\times c}{W_0}}& =& {\displaystyle \frac{6.62\cdot {10}^{-34}\times 3\cdot {10}^8}{2.5\times 1.6\cdot {10}^{-19}}}\\ \\ \Rightarrow {\lambda }_0& =& 497nm\end{array}$$$

 

2) a) Les valeurs de $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$

 

Les électrons sont extraits du métal que si les longueurs d'onde des photons incidents sont inférieures à la longueur d'onde seuil $\lambda\leq\lambda_{0}$

 

$\lambda_{1}=413.7nm$ ;

 

$\lambda_{2}=451.4nm$ ;

  

b) Montrons que l'expression du potentiel d'arrêt s'écrit $U_{0}=-\dfrac{E_{C}}{e}$

 

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué l'électron s'écrit :

 

$$$\begin{array}{lll}\mathrm{\Delta }{E}_C& =& \sum W_{\overrightarrow{F}}\\ \\ \Rightarrow E_C-0& =& -e{U}_0\\ \\ \Rightarrow U_0& =& -{\displaystyle \frac{E_C}{e}}\end{array}$$$

  

a) Calcul de la valeur du potentiel d'arrêt correspondant à chacune des deux radiations

 

$$$\begin{array}{lll}{U}_{01}& =& {\displaystyle \frac{h_C}{e}}{\displaystyle \frac{1}{{\lambda }_1}}-{\displaystyle \frac{W_0}{e}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{6.62\cdot {10}^{-34}\times 3\cdot {10}^8}{413.7\cdot {10}^{-9}\times 1.6\cdot {10}^{-19}}}-2.5\\ \\ \Rightarrow U_{01}& =& 0.50V\end{array}$$$

 

$$$\begin{array}{lll}{U}_{02}& =& {\displaystyle \frac{h_C}{e}}{\displaystyle \frac{1}{{\lambda }_2}}-{\displaystyle \frac{W_0}{e}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{6.62\cdot {10}^{-34}\times 3\cdot {10}^8}{451.4\cdot {10}^{-9}\times 1.6\cdot {10}^{-19}}}-2.5\\ \\ \Rightarrow U_{02}& =& 0.25V\end{array}$$$

 

3) Détermination de la valeur du potentiel d'arrêt correspondant à cette expérience

 

$U_{0}=U_{01}=0.50V.$ Car c'est la valeur la plus élevée.