Bac Maths C, Gabon 2022

 

Exercice 1 : Questions à choix multiples (5 points)

 

Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. 

 

Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

 

Exemple :

 

Question 1 Réponse A

 

Une bonne réponse rapporte $1\quad\text{pt}$, une mauvaise fait perdre $0.5\quad\text{point}$ et l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point.

 

Si le total des points est négatif, la note à cet exercice est ramenée à zéro.

 

1. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y"+\omega^{2}y=0$

 

Les solutions de cette équation sont de la forme :

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\tyext{Réponse D}\\ (A\cos\omega x&(Ax+B)\mathrm{e^ {\omega x}}&A\cos\omega x+B\sin\omega x (Ax+B)\mathrm{e^{-\omega x}}\\ \hline \end{array}$$

 

2. Chez l'homme l'angine peut être provoquée soit par une bactérie, soit par un virus.

 

On admet qu'une personne malade ne peut être à la fois porteur du virus et de la bactérie et que l'angine est bactérienne dans $20\%$ des cas.

 

Sur un échantillon de $n\ (n\geq 2)$ hommes la probabilité d'obtenir au moins une personne atteinte de l'angine dû à une bactérie est :

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\{text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réonse D}\\ \hline \left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}&1-\left(\dfrac{1 {5}\right)^{n}&\text{Aucune réponse}\\ & & &\text{n'est juste}\\ \hline \end{array}$$

 

3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right).$

 

On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $-1+2\mathrm{i}$ et $\mathrm{i}.$

 

L'ensemble des points $M$ d'affixe $Z$ tels que : 

$$\left|\mathrm{i}\overline{Z}-2+\mathrm{i}\right|=\left|z-\mathrm{i}\right|$ est :

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \text{un cercle de diamètre}&\{la médiatrice du}&\text{Aucune réponse n'est}&\text{Une sphère de}&\\ [AB]&\text{segment }[AB]&\text{juste}&\text{diamètre }[AB]\\ \hline \end{array}$$

 

 

4. L'intégrale $$\int_{\mathrm{e^{2}}}^{\mathrm{e^{3}}}\left(\dfrac{\ln x-1}{x\ln x}\right)\mathrm{d}x$$ est égale à :

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline 1-\ln 3+\ln 2&-1+\ln 3+\ln 2&1-\ln 3-\ln 2&-1-\ln 3+\ln 2\\ \hline \end{array}$$

 

S. Soient $g$ et $h$ deux rotations de centres respectifs $A$ et $B$ d'angles respectifs $\theta$ et $-\theta$ avec $\theta\neq 0.$ $C$ est le point du plan tel que $h^{-1}(A)=C.$ La composée $h\circ g$ est :

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D}\\ \hline \text{Une symètrie de}&\text{Un translation de}&\text{Un translation de}&\text{Un anti déplacemnt}\\

\text{centre }C&\text{vecteur }\overrightarrow{AC}&\text{vecteur }\overrightarrow{CA&\\ \hline \end{array}$$

 

Exercice 2 : Isométries de l'espace 

 

Dans l'espace  muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k}\right)$, on considère les points.

 

$E(2\ ;\ 1\ ;\ 1)$, $A\left(-\dfrac{4}{3}\ ;\ \dfrac{13}{3}\ ;\ -\dfrac{7}{3}\right)$ et l'application $f$ de l'espace $(\varepsilon)$ dans $(\varepsilon)$ d'expression analytique :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 3x'&=&x+2y-2z-6\\ 3y'&=&2x+y+2z+6\\ 3z'&=&-2x+2y+z-6 \end{array}\right.$$

 

1. Déterminer $f(A).$

 

2. Soit $M(x\ ;\ y;\ z)$ un point de l'espace et $M'(x'\ ;\ y' ;\ z)$ son image par $f.$

 

a) Démontrer que : $\overrightarrow{MM'}=-\dfrac{2}{3}(x-y+z+3)\vec{u}$ avec $\vec{u}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}.$

 

b) Démontrer que l'ensemble $(\pi)$ des points invariants par $f$ est le plan d'équation :

$$x-y+z+3=0.$$

 

c) Justifier que la droite $(MM')$ est orthogonale à $(\pi)$ ;

 

d) Démontrer que le milieu $K$ du segment $[MM']$ appartient au plan $(\pi)$ ;

 

e) En déduire la nature de $f.$

 

3. Soit $(\mathcal{D})$ la droite passant par $E$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}.$

 

a) Démontrer qu'une représentation paramétrique de  $(\mathcal{D})$ est :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x&=&2+t\\ y&=&1-t\quad (t\in\mathbb{R})\ ;\\ z&=&1+t \end{array}\right.$$

 

b) Justifier que la droite  $(\mathcal{D})$ est orthogonale au plan $(\pi)$ ;

 

c) Déterminer les coordonnées du point $k$ intersection de  $(\mathcal{D})$ et $(\pi).$

 

4. Soit $S_{(\mathcal{D})}$ le demi-tour d'axe  $(\mathcal{D}).$

 

a) Déterminer l'expression analytique de $S_{(\mathcal{D})}$ ;

 

b) Déterminer la nature de $S_{(\mathcal{D})}\circ f$, puis montrer que : $S_{(\mathcal{D})}\circ f(A)=E.$

 

Exercice : Arithmétique-Divisibilité par $4$ et $17$ des termes d'une suite

 

Soit $\left(u_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ une suite de nombres entiers naturels définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} u_{0}&=&0\\ u_{n+1}&=&17+3u_{n} \end{array}\right.$$

 

1. a) Calculer $u_{1}$ ,$u_{2}$, $u_{3}$ et $u_{4}$ ;

 

b) Que peut-on conjecturer quant à la divisibilité par $4$ et $17$ des termes de cette suite ?

 

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $u_{2n+1}\equiv\;u_{n}[4]$ ;

 

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $u_{2n}\equiv\;0[4]$ ;

 

c) En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $u_{2n+1}\equiv\;1[4].$

 

3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $v_{n}=u_{n}+\dfrac{17}{2}.$

 

a) Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme ;

 

b) En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $2u_{n}=17\left(3^{n}-1\right).$

 

c) En utilisant le théorème de Gauss, montrer que pour tout entier naturel $n$ :

$$u_{n}\equiv\;0[17].$$

 

4. Conclure sur la divisibilité par $4$ et $17$ des termes de la suite $\left(u_{n}\right).$

 

Exercice 4 : Étude d'une famille de fonctions - Calcul intégral 

 

Soit $n$ un entier naturel non nul.

 

On considère la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_{n}(x)=1+x\mathrm{e}^{-nx+1}.$

 

$\left(\mathcal{C_{n}}\right)$ est sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O\;,\ \overrightarrow{I}\ ;\ \overrightarrow{J}).$

 

1. Calculer les limites de $f_{n}$ aux bornes de son ensemble de définition. 

 

Si possible, Interpréter graphiquement les résultats.

 

2. On note $f_{n}^{'}$ la fonction dérivée de $f_{n}.$

 

a) Montrer que pour tout réel $x$ : $f_{n}^{'}=(1-nx)\mathrm{e}^{-nx+1}$ ;

 

b) Calculer $f_{n}\left(\dfrac{1}{n}\right)$, puis dresser le tableau de variation de $f_{n}.$

 

3. a) Démontrer que l'équation $f_{n}(x)=0$ admet une unique solution  sur $\mathbb{R}$ ;

 

b) En déduire le signe de $f_{n}$ sur $\mathbb{R}.$

 

4. a) Démontrer que toutes les courbes $\left(\mathcal{C_{n}}\right)$ passent par un point commun $A$ dont on précisera les coordonnées ;

 

b) Déterminer une équation de la tangente $(\mathcal{T}$) à $\left(\mathcal{C_{n}}\right)$ en $A.$

 

5. Construire $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$, $\left(\mathcal{C_{1}}\right)$ et $(\mathcal{T}).$

 

6. On pose pour tout entier naturel non nul $n$ : $$W_{n}=\int_{0}^{1}f_{n}(x)\mathrm{d}x.$$

 

a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ : $1\leq W_{n}\leq 1+\dfrac{\mathrm{e}}{2}$ ;

 

b) Démontrer que la suite $\left(W_{n}\right)$ est décroissante ;

 

c) Déduire alors la convergence de la suite $\left(W_{n}\right)$ ;

 

d) A l'aide d'une intégration par partie, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ :

$$W_{n}=-\dfrac{\mathrm{e}^{-n+1}}{n^{2}}(n+1)+\dfrac{\mathrm{e}}{n^{2}}+1\ ;$$

 

e) En déduire la limite de la suite $\left(W_{n}\right).$