BAC S SPECIALITE Métropole septembre 1999

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Soit le repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} du plan complexe. Les points A, B et C sont définis par leurs affixes respectives :
\[z_{\text{A = 3 - \text{i}\sqrt{3}~;~ z_{\text{B = 3 +
\text{i}\sqrt{3}~;~ z_{\text{C = 2 + \sqrt{3} + 3\text{i}.\]

 Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm.
    (On placera l'origine sur la gauche de la feuille).
 Prouver que OAB est un triangle équilatéral direct. Soit G le centre de gravité du triangle OAB. Déterminer l'affixe $z_{\text{G}}$ de G. Dans la suite de l'exercice, on étudie deux isométries transformant [OA] en [GC].
 Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes et R l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = az + b$.
    
         Déterminer $a$ et $b$ pour que R(O) = G et R(A) = C.
         Prouver que R est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.  
         Prouver que les droites (OA) et (GC) sont perpendiculaires. Que peut-on dire des points G, B et C ?
         Construire, en justifiant la construction, l'image du triangle OAB par R.
    
 Soit $a'$ et $b'$ deux nombres complexes et $f$ l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = a'\overline{z} + b'$.
    
         Déterminer $a'$ et $b'$ pour que $f$(O) = G et $f$(A) = C.
         Soit I le milieu du segment [OG]. Déterminer le point $f$(I). $f$ est-elle une réflexion ?
         Construire en justifiant la construction, l'image du triangle OAB par $f$.