Fonction numérique : Limite et continuité - 1er L

Classe: 
Première
 

I. Notion de limite

1. Activité :

Considérons la fonction f définie sur ]1, +[ par :
 
f : xf(x)=3x4x1
 
 Calculons ses valeurs (arrondies à 105 prés par défaut) lorsque la variable x devienne de plus en plus grandes :
 
x2510501001000f(x)22.752.888892.979592.989892.99989
 
 On constate que lorsque les nombres x deviennent de plus en plus grands, les nombres f(x) s'approchent aussi près que voulu du nombre 3.
 
On dira que la limite de f en est égale à 3.
 
 Calculons maintenant les valeurs de la fonction lorsque la variable x s'approche de \cancelplus en plus de la valeur interdite 1.
 
x0.50.80.90.990.9990.9999\cancel11.00011.0011.011.11.21.52f(x)58131031003100039997997977512
 
On constate, cette fois, que selon le côté dont on s'approche de la valeur interdite 1 (droite ou gauche), les nombres f(x) n'ont pas du temps le même comportement (puisque à droite les nombres (f) deviennent de plus en plus proche de + tandis qu'à gauche ils deviennent de plus en plus proches de .
 
On dira que la fonction  n'a pas de limite en 1.
 
On pourra cependant nuancer en disant :
 
la limite de f en 1 à gauche est égale à +
 
la limite de f en 1 à droite est égale à
 
Évidemment, toutes ces considérations purement calculatoires, peuvent avoir un appui graphique :
 
 

2. Limite d'une fonction en +

Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [α, +.
 
Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes :
 
si les nombres f(x) deviennent de plus en plus grands, on dit que f a pour limite + en + et on note lim
 
\blacktriangleright si les nombres f(x) deviennent de plus en plus grands en valeur absolue mais négatifs, on dit que f a pour limite -\infty en +\infty et on note \lim\limits_{x\rightarrow\;+\infty}f(x)=-\infty.
 
\blacktriangleright si les nombres f(x) deviennent de plus en plus proches d'un réel \ell, on dit que f a pour limite \ell en +\infty et on note \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell

 

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