Fonction numérique : Limite et continuité - 1er L
Classe:
Première
I. Notion de limite
1. Activité :
Considérons la fonction f définie sur ]1, +∞[ par :
f : x↦f(x)=3x−4x−1
▸ Calculons ses valeurs (arrondies à 10−5 prés par défaut) lorsque la variable x devienne de plus en plus grandes :
x2510501001000f(x)22.752.888892.979592.989892.99989
√ On constate que lorsque les nombres x deviennent de plus en plus grands, les nombres f(x) s'approchent aussi près que voulu du nombre 3.
On dira que la limite de f en ∞ est égale à 3.
√ Calculons maintenant les valeurs de la fonction lorsque la variable x s'approche de \cancelplus en plus de la valeur interdite 1.
x0.50.80.90.990.9990.9999\cancel11.00011.0011.011.11.21.52f(x)5813103100310003−9997−997−97−7−512
On constate, cette fois, que selon le côté dont on s'approche de la valeur interdite 1 (droite ou gauche), les nombres f(x) n'ont pas du temps le même comportement (puisque à droite les nombres (f) deviennent de plus en plus proche de +∞ tandis qu'à gauche ils deviennent de plus en plus proches de −∞.
On dira que la fonction n'a pas de limite en 1.
On pourra cependant nuancer en disant :
la limite de f en 1 à gauche est égale à +∞
la limite de f en 1 à droite est égale à ∞
Évidemment, toutes ces considérations purement calculatoires, peuvent avoir un appui graphique :
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig336_1.png)
2. Limite d'une fonction en +∞
Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [α, +∞.
Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes :
▸ si les nombres f(x) deviennent de plus en plus grands, on dit que f a pour limite +∞ en +∞ et on note lim
\blacktriangleright si les nombres f(x) deviennent de plus en plus grands en valeur absolue mais négatifs, on dit que f a pour limite -\infty en +\infty et on note \lim\limits_{x\rightarrow\;+\infty}f(x)=-\infty.
\blacktriangleright si les nombres f(x) deviennent de plus en plus proches d'un réel \ell, on dit que f a pour limite \ell en +\infty et on note \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell
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