Suite Numériques - TL
Classe:
Terminale
I. Généralités
1.1 Définition
Une suite est une fonction $u\ :\ \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}$ définie sur l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels.
L'image par la suite $u$ de l'entier $n$ est notée $u_{n}$ au lieu de $u(n)$
La suite elle-même est notée $\left(u_{n}\right)$
1.2 Modes de définition d'une suite
$\bullet\ $On peut définir une suite par une formule de la forme : $u_{n}=f(n)$ (définition explique).
Exemple :
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=n^{2}-5n+3.$
Alors :
$u_{0}=0^{2}-(5\times 0)+3=3$ ;
$u_{1}=1^{2}-(5\times 1)+3=-1$ ;
$u_{2}=2^{2}-(5\times 2)+3=-3$ ;
$u_{10}=10^{2}-(5\times 10)+3=53$ ;
$u_{50}=50^{2}-(5\times 50)+3=2253$
$\bullet\ $On peut aussi définir une suite par une condition de la forme : $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ et la donnée du premier terme $u_{0}$ (relation de récurrence).
$\bullet\ $On peut alors calculer de proche en proche les termes de la suite : $u_{1}=f\left(u_{0}\right)\ ;\ u_{2}=f\left(u_{1}\right)\ ;\ u_{3}=f\left(u_{2}\right)\ ;\ \text{ etc}\ldots$
Exemple :
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
$u_{n+1}=2u_{n}+3\text{ et }u_{0}=-1.$
Alors : $u_{1}=u_{0+1}=2u_{0}+3=1$ ;
$u_{2}=u_{1+1}=2u_{1}+3=-3$ ;
$u_{3}=u_{2+1}=2u_{2}+3=13\ ;\ \text{ etc}\ldots$
Par exemple, pour calculer $u_{50}$, il faudrait faire $50$ calculs successifs.
1.3 Sens de variation d'une suite
Définition :
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est dite :
$-\ $Croissante si : $\forall\;n\;,\ :\ u_{n+1}\geq u_{n}.$
$-\ $Décroissante si : $\forall\;n;,\ :\ u_{n+1}\leq u_{n}$
$-\ $Monotone si elle est croissante ou décroissante.
$-\ $Constante si : $\forall\;n\;,\ :\ u_{n+1}=u_{n}.$
Étudier le sens de variation d'une suite $\left(u_{n}\right)$
C'est dire si elle est croissante ou décroissante ou constante.
Règle :
Pour étudier le sens de variation d'une suite $\left(u_{n}\right)$,on compare deux termes consécutifs, pour cela, on peut étudier le signe de leur différence, ou, s'il s'agit de nombres strictement positifs, comparer leur quotient à $1.$
Exemple :
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=\dfrac{n+2}{2n+1}$
Alors :
$u_{n+1}=\dfrac{(n+1)+2}{2(n+1)+1}=\dfrac{n+3}{2n+3}$
$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{n+3}{2n+3}-\dfrac{n+2}{2n+1}=\dfrac{-3}{(2n+1)(2n+3})$
Pour tout entier naturel $n$, on a donc : $u_{n+1}-u_{n}\leq 0.$
La suite étudiée est par conséquent décroissante.
II. Suite arithmétiques
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique si chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre $r$ appelé raison : $u_{n+1}=u_{n}+r.$
2.1 Expression du terme général
$\bullet\ \text{Si }\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$, alors :
$$u_{n}=u_{0}+nr$$
$\bullet\ $Si le premier terme est $u_{1}$, alors :
$$u_{n}=u_{1}+(n-1)r$$
2.2 Somme des premiers termes
$\bullet\ $Si la suite a pour premier terme $u_{0}$, alors la somme $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}$ vaut :
$$S_{n}=\dfrac{(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)}{2}$$
$\bullet\ $Si la suite a pour premier terme $u_{1}$, alors la somme $S_{n}=u_{1}+u_{1}+\ldots+u_{n}$ vaut :
$$S_{n}=\dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$$
Exemple :
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{n}=2n-1$ et $u_{1}=1.$
Alors : $\left(u_{n}\right)$ est une suite arithmétique
Car : $u_{n+1}-u_{n}=2(n+1)-1-(2n-1)=2n+2-1-2n+1=2.$
Donc : $u_{n+1}=u_{n}+2.$
La raison de la suite est $2.$
La somme des $n$ premiers termes vaut : $u_{1}+u_{2}\ldots+u_{n}=\dfrac{n(1+2n-1}{2}=n^{2}$
III. Suites géométriques
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est dite géométrie si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre $q$ appelé raison : $u_{n+1}=u_{n}\times q.$
3.1 Expression du terme général
$\bullet\ $Si la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ a pour premier terme $u_{0}$ et pour raison $q$, alors : $$u_{n}=u_{0}\times q^{n}$$
$\bullet\ $Si le premier terme est $u_{1}$, alors :$$u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$$
2.2 Somme des premiers termes
Pour toute suite géométrique, de raison $q\neq 1$, on a:
$$u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}=u_{0}\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
$$u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}=u_{1}\times\dfrac{1-q^{n}}{1-q}$$
Exemple :
$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{2^{n}}=S_{n}$ est la somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}.$
Donc : $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\ldots\ldots+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}=2-\dfrac{1}{2^{n}}$
IV. limites d'une suite
La notion de limite en $+\infty$, déjà rencontrée à propos des fonction, s'étend au cas des suites.
On a les résultats suivantes :
Théorème 1 :
a. $\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\sqrt{n}=+\infty\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}n^{2}=+\infty\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}n^{3}=+\infty.$
b. $\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{n}=0\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0\ ;\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}=0.$
Théorème 2 :
Soit $q$ un nombre réel.
$-\ \text{Si }q>1\ :\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}q^{n}=+\infty$
$-\ \text{Si }-1<q<1\ :\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}q^{n}=0.$
Théorème 3 :
Les résultats concernant les opérations sur les limites de fonctions s'étendent aux limites de suites.
Exemples :
1) Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=\dfrac{3n^{3}-5n^{2}+1}{2n^{3}+1}$
Alors $\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}u_{n}=\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{3n^{3}}{2n^{3}}=\dfrac{3}{2}.$
2) Soit la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par : $v_{n}=1+\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\ldots+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}.$
On a d'après le paragraphe III :
$v_{n}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{''}}{1-\dfrac{1}{3}}$
car $v_{n}$ est la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$, or comme $-1<\dfrac{1}{3}<1\;,\ \lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{''}=0.$
D'où : $\lim\limits_{n\;\longrightarrow\;+\infty}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{2}$
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