Devoir math n°44 - 2nd S
Classe:
Seconde
Exercice 1
1. On donne les expressions suivantes :
A=[1+2÷(1−5a2)]÷[√5+a√5−a+√5−a√5+a]A=[1+2÷(1−5a2)]÷[√5+a√5−a+√5−a√5+a]
et B=b+√b2−1b−√b2−1+b−√b2−1b+√b2−1B=b+√b2−1b−√b2−1+b−√b2−1b+√b2−1
a. Donner les conditions sur aa pour assurer l'existence de AA, puis simplifier AA
b. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que BB existe, puis simplifier BB
2. Simplifier les écritures suivantes :
R=√(√3+√2)2−(1−√6)2+(√3−√8)2R=√(√3+√2)2−(1−√6)2+(√3−√8)2 ;
Q=(3−2×23)4(34×2−3)5×(27×8−2)4[(3−1)3×27]−2Q=(3−2×23)4(34×2−3)5×(27×8−2)4[(3−1)3×27]−2
Exercice 2
1. Soient trois aa, bb et cc de l'intervalle ]0 ; 1].]0 ; 1].
a. Démontrer que : (ab−1)(bc−1)(ca−1)≤0(ab−1)(bc−1)(ca−1)≤0
b. En déduire que a+b+c+1abc≥1a+1b+1c+abca+b+c+1abc≥1a+1b+1c+abc
2. Soient xx, yy, zz et tt tels que :
0≤x≤y≤z≤t.0≤x≤y≤z≤t.
Démontrer que : xy+yz+zt+tx≥yx+zy+tz+xtxy+yz+zt+tx≥yx+zy+tz+xt de deux façon différentes :
a. En utilisant les résultats de la question 1
b. En démontrant que : (z−x)(t−y)(yt−xz)≥0(z−x)(t−y)(yt−xz)≥0
Exercice 3
Soit les réels xx et yy dont les valeurs approchées sont 1.51.5 et 2.72.7 avec les incertitudes εε et 2×10−12×10−1
On note β=ε+2×10−1β=ε+2×10−1
1. Déterminer des encadrements des réels x+yx+y, y−xy−x, x+yy−xx+yy−x et (x+yy−x−3.5)(x+yy−x−3.5) en fonction de ββ
Quel est le signe du réel dd tel que d=4.5β1.2−β−4.5β1.2+β?d=4.5β1.2−β−4.5β1.2+β? ?
Exercice 4
Soit ABCDABCD un parallélogramme et les points II et JJ milieux respectifs des segments [AB][AB] et [CD].[CD].
1. Démontrer que les droites (ID)(ID) et (JB)(JB) sont parallèles.
2. Construire les ponts HH et NN tels que : →AH=12→AC−−→AH=12−−→AC et →AN=23→AC−−→AN=23−−→AC
3. Exprimer →IH−→IH et →ID−→ID en fonction des vecteurs →AB−−→AB et →AC−−→AC
En déduire que HH appartient à la droite (ID).(ID).
4. Exprimer →BJ−→BJ et →BN−−→BN en fonction des vecteurs →AB−−→AB et →AC.−−→AC.
En déduire que NN appartient à la droite (JB)(JB)
5. Démontrer que HINJHINJ est un parallélogramme.
Soit GG le point du plan tel que →GD−2→GI=→0−−→GD−2−→GI=→0
6. Démontrer que BB est le milieu du segment [CE].[CE].
7. Déterminer et construire l'ensemble des points MM du plan tels que :
||→MD−2→MI||=4||−−→MD−2−−→MI||=4
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