Primitive - T S
a. Definition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I, toute fonction F définie sur I, dont sa dérivée est f.
Exemple :
La fonction f définie sur R par f(x)=4x a pour primitive F définie sur R par F(x)=2x2
En effet F est dérivable sur R et on a F′=f
b. Propriété
Soit F1 est une primitive de f sur un intervalle I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions F de la forme
F=F1+k avec k∈R
c. Propriété
Soit f une fonction ayant des primitives sur I ; soit x1∈I et y1∈R.
Il existe une et une seule primitive F de f prenant la valeur y1 en x1 c'est à dire telle que F(x1)=y1
d. Primitives des fonctions usuelle
Dans le tableau k est une constante réelle
FonctionPrimitivef(x)=0F(x)=+kf(x)=1F(x)=x+kf(x)=a avec a∈RF(x)=ax+kf(x)=xF(x)=12x2+kf(x)=x2F(x)=13x3+kf(x)=1x2F(x)=−1x+kf(x)=1√xF(x)=2√x+kf(x)=xnn∈Z−1F(x)=1n+1xn+1+kf(x)=1xF(x)=lnx+kf(x)=exF(x)=ex+kf(x)=sinxF(x)=−cosx+kf(x)=sinxF(x)=sinx+k
e. Propriété
Soit I un intervalle.
Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors F+G est une primitive de f+g sur I.
Si F est une primitive de f sur I et si a est un réel, alors aF est une primitive de af sur I.
f. Propriété
∙ Les fonctions de la forme u′×un avec n∈Z ont pour primitive les fonctions de la forme 1n+1un+1+k avec k∈R.
∙ Les fonctions de la forme u′√u ont pour primitives les fonctions de la forme 2√u+k avec k∈R
∙ Les fonctions de la forme u′u ont pour primitives les fonctions de la forme lnu+k, avec k∈R, sur tout intervalle dans lequel u ne s'annule pas.
∙ Les fonctions de la forme u′×eu ont pour primitives les fonctions de la forme eu+k, avec k∈R, s'annule
∙ Les fonctions de la forme x↦sin(ax+b) avec a≠0 ont pour primitives les fonctions de la forme x↦−1acos(ax+b)+k, avec k∈R
∙ Les fonctions de la forme x↦cos(ax+b) avec a≠0 ont pour primitives les fonctions de la forme x↦1asin(ax+b)+k, avec k∈R
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