Primitive - Ts

a. Definition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I.$ 
 
On appelle primitive de $f$ sur $I$, toute fonction $F$ définie sur $I$, dont sa dérivée est $f.$

Exemple :

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x$ a pour primitive $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=2x^{2}$
 
En effet $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a $F'=f$

b. Propriété

Soit $F_{1}$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $F$ de la forme
 
$F=F_{1}+k$ avec $k\in\mathbb{R}$

c. Propriété

Soit $f$ une fonction ayant des primitives sur $I$ ; soit $x_{1}\in I$ et $y_{1}\in\mathbb{R}.$
 
Il existe une et une seule primitive $F$ de $f$ prenant la valeur $y_{1}$ en $x_{1}$ c'est à dire telle que $F(x_{1})=y_{1}$

d. Primitives des fonctions usuelle

Dans le tableau $k$ est une constante réelle

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Fonction}&\text{Primitive}\\ \hline f(x)=0&F(x)=+k\\ \hline f(x)=1&F(x)=x+k\\ \hline f(x)=a\text{ avec }a\in\mathbb{R}&F(x)=ax+k\\ \hline f(x)=x&F(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}+k\\ \hline f(x)=x^{2}&F(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+k\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}&F(x)=-\dfrac{1}{x}+k\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}&F(x)=2\sqrt{x}+k\\ \hline f(x)=x^{n}\;n\in\mathbb{Z}\,-\,1&F(x)=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+k\\ \hline f(x)=\dfrac{1}{x}&F(x)=\ln x+k\\ \hline f(x)=\mathrm{e}^{x}&F(x)=\mathrm{e}^{x}+k\\ \hline f(x)=\sin x&F(x)=-\cos x+k\\ \hline f(x)=\sin x&F(x)=\sin x+k\\ \hline \end{array}$$

e. Propriété

Soit $I$ un intervalle.
 
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $G$ est une primitive de $g$ sur $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I.$
 
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $a$ est un réel, alors $a\,F$ est une primitive de $a\,f$ sur $I.$

f. Propriété

 $\bullet$ Les fonctions de la forme $u'\times u^{n}$ avec $n\in\mathbb{Z}$ ont pour primitive les fonctions de la forme $\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}+k$ avec $k\in\mathbb{R}.$
 
$\bullet$ Les fonctions de la forme $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ ont pour primitives les fonctions de la forme $2\sqrt{u}+k$ avec $k\in\mathbb{R}$
 
$\bullet$ Les fonctions de la forme $\dfrac{u'}{u}$ ont pour primitives les fonctions de la forme $\ln u+k$, avec $k\in\mathbb{R}$, sur tout intervalle dans lequel $u$ ne s'annule pas.
 
$\bullet$ Les fonctions de la forme $u'\times\mathrm{e}^{u}$ ont pour primitives les fonctions de la forme $\mathrm{e}^{u+k}$, avec $k\in\mathbb{R}$, s'annule
 
$\bullet$ Les fonctions de la forme $x\mapsto\sin(ax+b)$ avec $a\neq 0$ ont pour primitives les fonctions de la forme $x\mapsto-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)+k$, avec $k\in\mathbb{R}$
 
$\bullet$ Les fonctions de la forme $x\mapsto\cos(ax+b)$ avec $a\neq 0$ ont pour primitives les fonctions de la forme $x\mapsto\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+k$, avec $k\in\mathbb{R}$
 
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