Primitive - T S

a. Definition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. 
 
On appelle primitive de f sur I, toute fonction F définie sur I, dont sa dérivée est f.

Exemple :

La fonction f définie sur R par f(x)=4x a pour primitive F définie sur R par F(x)=2x2
 
En effet F est dérivable sur R et on a F=f

b. Propriété

Soit F1 est une primitive de f sur un intervalle I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions F de la forme
 
F=F1+k avec kR

c. Propriété

Soit f une fonction ayant des primitives sur I ; soit x1I et y1R.
 
Il existe une et une seule primitive F de f prenant la valeur y1 en x1 c'est à dire telle que F(x1)=y1

d. Primitives des fonctions usuelle

Dans le tableau k est une constante réelle

FonctionPrimitivef(x)=0F(x)=+kf(x)=1F(x)=x+kf(x)=a avec aRF(x)=ax+kf(x)=xF(x)=12x2+kf(x)=x2F(x)=13x3+kf(x)=1x2F(x)=1x+kf(x)=1xF(x)=2x+kf(x)=xnnZ1F(x)=1n+1xn+1+kf(x)=1xF(x)=lnx+kf(x)=exF(x)=ex+kf(x)=sinxF(x)=cosx+kf(x)=sinxF(x)=sinx+k

e. Propriété

Soit I un intervalle.
 
Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors F+G est une primitive de f+g sur I.
 
Si F est une primitive de f sur I et si a est un réel, alors aF est une primitive de af sur I.

f. Propriété

  Les fonctions de la forme u×un avec nZ ont pour primitive les fonctions de la forme 1n+1un+1+k avec kR.
 
Les fonctions de la forme uu ont pour primitives les fonctions de la forme 2u+k avec kR
 
Les fonctions de la forme uu ont pour primitives les fonctions de la forme lnu+k, avec kR, sur tout intervalle dans lequel u ne s'annule pas.
 
Les fonctions de la forme u×eu ont pour primitives les fonctions de la forme eu+k, avec kR, s'annule
 
Les fonctions de la forme xsin(ax+b) avec a0 ont pour primitives les fonctions de la forme x1acos(ax+b)+k, avec kR
 
Les fonctions de la forme xcos(ax+b) avec a0 ont pour primitives les fonctions de la forme x1asin(ax+b)+k, avec kR
 

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