Bac maths, Polynésie 4 mai 2022
Exercice 1
a.$\begin{array}{|c|}
\hline
def seuil() :\\
m=0\\
v=57 \\
while v < 200 : \\
m=m+1 \\
v = v*1.03 \\
return m\\
\hline
\end{array}$
b.$\begin{array}{|c|}
\hline
def seuil() :\\
m=0 \\
v=57\\
while \\
v > 200 : \\
m=m+1 \\
v = v*1.03 \\
return m\\
\hline
\end{array}$
c. $\begin{array}{|c|}
\hline
def seuil() : \\
v=57 \\
for i in range (200) : \\
v = v*1.03 \\
return v\\
\hline
\end{array}$
d.$\begin{array}{|c|}
\hline
def seuil() : \\
m=0 \\
v=57 if v < 200 :\\
m=m+1 \\
else : \\
v = v*1.03 \\
return m\\
\hline
\end{array}$
Exercice 2 Thèmes : probabilités
• Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20%$ des cas;
• Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1%$ des cas.Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.On considère les évènements suivants :
• $M$ « la personne est malade »;
• $T$ « le test est positif ».
1. Calculer la probabilité de l’évènement $M ∩T$ . On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
2. Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif,est de$ 0,0653$.
3. Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_{M} (T )$
ou $P_{T} (M)$ ?
4. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{−2}$ près.
5. On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les $10$ personnes.
a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{−2}$ près.
6. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif, soit supérieur à $99%$.
Exercice 3 Thèmes : suites
1. a. Calculer les termes $u_{1}, u_{2}$ et $u_{3}$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
b. Recopier le script python ci-dessous et compléter les lignes $3$ et $6$ pour que liste$(k)$ prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs
de la suite $(u_{n})$ de $u_{0}$ à $u_{k}$.
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
1.& def liste(k) :\\
\hline
2.& L = []\\
\hline
3.& u = ...\\
\hline
4.& for i in range(0, k+1) :\\
\hline
5.& L.append(u)\\
\hline
6.& u = ...\\
\hline
7.& return(L)\\
\hline
\end{array}$$
2. On admet que, pour tout entier naturel $n, u_{n}$ est strictement positif.
Déterminer le sens de variation de la suite $(u_{n})$.
3. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge.
4. Déterminer la valeur de sa limite.
5. a. Conjecturer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
Exercice 4 Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace
• les points $A(2 ; −1 ; 0) B(1 ; 0 ; −3), C(6 ; 6 ; 1) et E(1 ; 2 ; 4)$;
• Le plan $\mathbb{P}$ d’équation cartésienne $2x − y − z +4 = 0$.
1. a. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en $A$.
b. Calculer le produit scalaire $\vec{BA}$ ·\vec{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$.
c. En déduire la mesure en degrés de l’angle ABC arrondie au degré.
2. a. Démontrer que le plan P est parallèle au plan $ABC$.
b. En déduire une équation cartésienne du plan $ABC$.
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$ orthogonale au plan $ABC$ et passant par le point $E$.
d. Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $ABC$ a pour coordonnées $(4;\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{2})$.
3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par $V =\dfrac{1}{3}$
Bh où B désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.Calculer l’aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide $ABCE$ est égal à $16,5$ unités de volume.
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