Solution des exercices : Travail de la force électrostatique - Énergie potentielle électrostatique - 1er s

 

 

1. Direction et sens (voir figure)

 

Intensité du champ électrique $\overrightarrow{E}$ qui règne dans le domaine situé $D$ entre les deux plaques

 

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{U}{d}\\&=&\dfrac{500}{10\cdot10^{-2}}\\\Rightarrow\;E&=&50\cdot10^{2}Vm^{-1} \end{array}$

 

2. Calcul des $d\cdot d\cdot p V_{O}-V_{M}$ ;

 

$V_{O}-V_{N}$ et $V_{M}-V_{N}$

 

$\begin{array}{rcl} V_{0}-V_{M}&=&\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{OM}\\&=&E\times OM\\&=&50\cdot10^{2}\times2\cdot10^{-2}\\\Rightarrow\;V_{0}-V_{M}&=&100V \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} V_{0}-V_{N}&=&\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{ON}\\&=&E\times ON\\&=&E\times ON\\&=&50\cdot10^{2}\times7\cdot10^{-2}\\\Rightarrow\;V_{0}-V_{M}&=&3.5\cdot10^{2}V \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} V_{M}-V_{N}&=&\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{MN}\\&=&E\times MN\\&=&50\cdot10^{2}\times\left|7\cdot10^{-2}-2\cdot10^{-2}\right|\\\Rightarrow\;V_{M}-V_{N}&=&2.5\cdot10^{2}V \end{array}$

 

3.1 Caractéristiques de la force électrostatique $\overrightarrow{F}$ qui s'exerce sur l'électron

 

Direction et sens (voir figure)

 

Intensité : 

 

$\begin{array}{rcl} F&=&qE\\&=&1.6\cdot 1.6\cdot10^{-19}\times50\cdot10^{2}\\\Rightarrow\;F&=&80\cdot10^{-17}N \end{array}$

 

3.2 Vitesse de l'électron à son passage en $N$, $M$, puis en $O$

 

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique : 

Entre $R$ et $N$ :

 

$\begin{array}{rcl} E_{C_{N}}-E_{C_{R}}&=&W_{NR}\left(\overrightarrow{F}\right)+W_{NR}\left(\overrightarrow{P}\right)\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}m_{e}V_{N}^{2}-0&=&-eU_{RN}+0\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}m_{e}V_{N}^{2}-0&=&-e\times-\left(U-U_{ON}\right) \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} V_{N}&=&\sqrt{\dfrac{2e\left(U-U_{ON}\right)}{me}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times1.6\cdot10^{-19}\times\left(500-3.5\cdot10^{2}\right)}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;V_{N}&=&7.3\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} V_{M}&=&\sqrt{\dfrac{2e\left(U-U_{OM}\right)}{m_{e}}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times1.6\cdot10^{-19}\times(500-100)}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;V_{N}&=&11\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$
 

$\begin{array}{rcl} V_{O}&=&\sqrt{\dfrac{2e\left(U-U_{OO}\right)}{m_{e}}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times1.6\cdot10^{-19}\times(500-0)}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;V_{o}&=&13\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$

 

4. Calculer le travail $W\left(\overrightarrow{F}\right)$ de la force lorsque l'électron déplace de $N$ à $M$

 

$\begin{array}{rcl} W\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-e\left(V_{N}-V_{M}\right)\\&=&-e\times-\left(V_{M}-V_{N}\right)\\&=&e\times\left(V_{M}-V_{N}\right)\\&=&1.6\cdot10^{-19}\times2.5\cdot10^{2}\\\Rightarrow\;W \left(\overrightarrow{F}\right)&=&4.0\cdot10^{-17}J \end{array}$

 

 

1.1 Détermination des caractéristiques du vecteur champ électrostatique entre  $C$ et $A$

 

Direction et sens (voir figure)

 

Intensité du champ électronique $\overrightarrow{E}$

 

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{U_{AC}}{CA}\\&=&\dfrac{640}{5\cdot10^{-2}}\\\Rightarrow\;E&=&12.8\cdot10^{3}V\cdot m^{-1} \end{array}$ 

 

1.2 Calcul du travail de la force électrostatique appliquée à un électron pour aller de $C$ à $A$

 

$\begin{array}{rcl} W_{CA}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-eU_{CA}\\&=&-e\times-U_{AC}\\&=&eU_{AC}\\&=&1.6\cdot10^{-19}\times640\\\Rightarrow\;w_{CA}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&1.0\cdot10^{-16}J \end{array}$

 

2. Calcul de la tension $U_{OM}$

 

$\begin{array}{rcl} U_{OM}&=&\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{OM}\\&=&-E\times OM\text{ or }E\\&=&\dfrac{U_{PN}}{d}\\\Rightarrow\;U_{OM}&=&-\dfrac{U_{PN}}{d}\times d'\\&=&-\dfrac{1000}{5}\times 2\\\Rightarrow\;U_{OM}&=&-400V \end{array}$ 

 

3. Calcul de l'énergie potentielle électrostatique d'un électron en $O$ et en $M.$

 

$E_{p}=qV+\text{cte}$ ; 

 

$\begin{array}{rcl} Q_{1}+Q_{2}&=&0\\\Rightarrow\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{4}-\theta_{0}\right)-m'L_{v}+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{4}-\theta_{3}\right)&=&0\\\Rightarrow\;-m'L_{v} &=&\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(\rho_{\text{eau}}V_{0}C_{\text{eau}}+\mu\right)\left(\theta_{0}-\theta_{4}\right)+m'C_{\text{eau}}\left(\theta_{3}-\theta_{4}\right)}{m'}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&-\dfrac{\left(1\times450\cdot10^{-3}\times4185+100\right)(20.0-45.2)+20.0\cdot10^{-3}\times4185(100-45.2)}{20.0\cdot10^{-3}}\\\Rightarrow\;L_{v}&=&2.27\cdot10^{6}J\cdot kg^{-1} \end{array}$

 

4. Détermination du travail de la force électrostatique s'exerçant sur un électron pour aller de $O$ à 

 

$\begin{array}{rcl} W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&-\Delta E_{p}\\&=&-\left(E_{P_{M}}-E_{P_{o}}\right)\\&=& \left(-14.4\cdot10^{-17}-8.0\cdot10^{-17}\right)\\\Rightarrow\;W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&6.4\cdot10^{-17} \end{array}$

 

5. Calcul de :

 

5.1. L'énergie cinétique de sortie $E_{CM}$ de l'électron en $M.$

 

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique

$\begin{array}{rcl} W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)&=&\Delta E_{C}\\&=&E_{C_{M}}-E_{C_{o}}\\&=&W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)\\\Rightarrow\;E_{C_{M}}&=&W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)+E_{C_{o}}\\\text{or }E_{C_{o}}=E_{C_{A}}=-eU_{CA}=-e\times -U_{AC}\\\Rightarrow\;E_{C_{M}}&=&W_{OM}\left(\overrightarrow{F}\right)+eU_{AC}\\\Rightarrow\;E_{C_{M}}&=&6.4\cdot10^{-17}+1.6\cdot 10^{-19}\times 640\\\Rightarrow\;E_{C_{M}}&=&7.4\cdot10^{-17}J \end{array}$
 

5.2 La vitesse de l'élection $V_{M}$ au point $M.$

 

$\begin{array}{rcl} E_{C_{M}}&=&\dfrac{1}{2}mV_{M}^{2}\\\Rightarrow\;V_{M}^{2}&=&\dfrac{2E_{C_{M}}}{m}\\\Rightarrow\;V_{M}&=&\sqrt{\dfrac{2E_{C_{M}}}{M}}\\&=&\sqrt{\dfrac{2\times7.4\cdot10^{-17}}{9.1\cdot10^{-31}}}\\\Rightarrow\;V_{M}&=&13\cdot10^{6}m\cdot s^{-1} \end{array}$

 

 

1. Inventaire des forces que subit la particule au cours de son déplacement de $A$ vers $B.$

 

La particule est soumise à : son poids $\overrightarrow{P}$ , la force électrostatique $\overrightarrow{F}$ et aux forces de frottement $\overrightarrow{F}$

 

2. Le poids $\overrightarrow{P}$ et la force électrostatique $\overrightarrow{F}$ sont des forces conservatives (le travail d'une force conservative ne dépend pas du chemin suivi)

 

3. Expression du travail de la force de frottement de l'air $f$ en fonction de $AB$ et $f.$

 

$W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right)=-f\times AB$

 

4. Le signe de la charge électrique de l'armature haute est positif car les électrons chargés négativement se déplacent vers l'armature chargée positivement

 

5. Représentation du champ électrique $E$ et du champ de pesanteur $g$ sur la figure.  

 

(Voir figure

 

6. Expression du travail de la force électrique $Fe$ et du poids $P$, en fonction de $m$, $q$ $V_{A}$, $V_{B}$, $g$, $\alpha$ et $AB.$

 

$W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{e}}\right)=q\left(V_{A}-V_{B}\right)$

 

$W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)=-mgAB\cos\alpha$

 

7. Précisons pour chacune de ces forces si leur travail est moteur ou résistant.

 

$-\ $Le travail de la force électronique $\overrightarrow{F_{e}}$ est moteur car il favorise le déplacement.

 

$-\ $Le travail de la force électrostatique $\overrightarrow{P}$ est résistance car il s'oppose au déplacement.

 

8. Calcul du travail de ces forces sur le trajet $AB=1.8\,m$

 

$\begin{array}{rcl} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{e}}\right)&=&q\left(V_{A}-V_{B}\right)\\&=&-2e\left(V_{A}-V_{B}\right)\\&=&-2\times1.6\cdot10^{-19}(-3-5)\\\Rightarrow\;W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{e}}\right)&=&16\cdot10^{-19}J \end{array}$

 

$\begin{array}{rcl} W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)&=&-mgAB\cos\alpha\\&=&-3.210^{-27}\times 10\times 1.8\cos 30^{\circ}\\\Rightarrow\;W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)&=&5.0\cdot10^{26}J \end{array}$

 

$W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{e}}\right)\succ W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right)$, on peut négliger l'énergie potentielle de pesanteur de la particule.

 

Alors, on ne prend en compte que l'énergie potentielle électrique.

 

9. Déduction de l'expression de l'énergie mécanique de la particule au point $A$ en fonction de sa vitesse $v_{A}$

et des grandeurs $V_{A}$, $q$ et $m$

 

$\begin{array}{rcl} E_{m_{A}}&=&E_{P_{A}}+E_{C_{A}}\\\Rightarrow\;E_{m_{A}}&=&qV_{A}+\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2} \end{array}$

 

10 Déduction de l'expression de l'énergie mécanique de la particule au point $B$ en fonction de la vitesse $v_{B}$

et des grandeurs $V_{B}$, $q$, et $m.$

 

$\begin{array}{rcl} E_{m_{B}}&=&E_{P_{B}}+E_{C_{B}}\\\Rightarrow\;E_{m_{B}}&=&qV_{B}+\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2} \end{array}$

 

11 L'énergie mécanique se conserve car il y a un vide parfait ; les forces de frottement sont négligeables

 

12. Déduction de la vitesse $v_{B}$ de la particule

 

La conservation de l'énergie mécanique s'écrit :

 

$\begin{array}{rcl} E_{m_{B}}&=&E_{m_{A}}\\\Rightarrow\;qV_{B}+\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}&=&qV_{A}+\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2}\\\Rightarrow\dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}&=&q\left(V_{A}-V_{B}\right)+\dfrac{1}{2}mv_{A}^{2}\\\Rightarrow\;V_{B}&=&\sqrt{\dfrac{2q\left(V_{A}-V_{B}\right)}{m}+v_{A}^{2}}\\\Rightarrow\;V_{B} &=&\sqrt{\dfrac{-2\times1.6\cdot10^{-19}(-3-5)}{3.2\cdot10^{-27}}+(0.53)^{2}}\\\Rightarrow\;V_{B}&=&28\cdot10^{3}m\cdot s^{-1} \end{array}$