Bac Maths T1-T2 1er groupe 2023

Dans l'espace muni du repère orthogonal direct $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\overrightarrow{k}\right)$, on considère les points suivants :

 

$A(1,0,0)$, 

 

$B(0.2,0)$ et 

 

$(0,0,3)$

 

1.a. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$

 

b. Justifier alors que les points $A$, $B$ et $C$ déterminent un plan $(P)$

 

c. Déterminer une équation cartésienne de $\mathfrak{P}$

 

2. Soit $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AC]$

 

On désigne par $\Delta$ la droite passant par $I$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{k}$ et par $\Delta'$ la droite passant par $j$ et de vecteur directeur $\vec{j}$

 

a. Déterminer une représentation paramétrique pour chacune des droites $\Delta$ et $\Delta'$

 

b. Soit $\Omega$ le point d'intersection de $\Delta$ et $\Delta'.$

 

Déterminer les coordonnées de $\Omega$

 

c. Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $\mathfrak{P}$

1. On considère dans $\mathcal{C}$ l'équation $\mathbb{E}$ : $z^{2}-(3-i)z+4=0.$

 

a. Résoudre $\mathbb{E}.$

 

On écrire les solutions $z_{1}$ et $z_{2}$ sous formes algébrique où $z_{1}$ est la solution dont la partie imaginaire est strictement positive.

 

2. On considère dans $\mathcal{C}$ une autre équation $\mathbf{E'}$ : $3z^{3}-(9-i)z^{2}+(14+6i)z-8i=0$

 

a. Montrer $\left(E'\right)$ admet une racine imaginaire pure que l'on déterminera.

 

On la notera $z_{0}$

 

b. Résoudre alors $\left(E'\right)$

 

3. Dans le plan complexe, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectives $1+i\;,2-2i$ et $\dfrac{2}{3}i.$

 

On pose $Z=\dfrac{z_{B}-z_{A}}{z_{C}-z_{A}}$

 

a. Déterminer le module et l'argument principal de $Z$ puis les interpréter géométriquement. 

 

b. Déterminer alors la nature exacte du triangle $ABC$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty[\text{par }g(x)=x^{2}+3x-4+4\ln x$

 

1. Déterminer la limite de $g$ en $0$ et la limite de $g$ en $+\infty$

 

2. Soit $g'$ la dérivée de $g.$

 

a. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $g'(x)=\dfrac{2x^{2}+3x+4}{x}$

 

b. Dresser alors le tableau de variations de $g$

 

3. Calculer $g(1)$, puis en déduire le signe de $g(x)$ sur $]0\;,+\infty[$

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\;,+\infty[$ par $f(x)=x+3\ln x-\dfrac{4\ln x}{x}\ln x.$

 

On note $\left(C_{f}\right)$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{i}\,\vec{j}\right)$ $(\text{unité }:3\,cm$

 

1. Déterminer la unité de $0$ puis interpréter géométriquement

 

le résultat.

 

On pourra remarquer que : $\forall x\in]0\;,+\infty[,f(x)=x+\left(3-\dfrac{4}{x}\ln x.$

 

2.a. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$

 

b. Étudier la branche infinie de $\left(\mathcal{C}\right)$ en $+\infty$

 

3.a. Montrer que pour tout réel $x$  strictement positif : $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}$ 

 

b. En utilisant les résultats de la partie $A$, dresser le tableau de variations de $f.$

 

4.a. Déterminer les points d'intersection de $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et de la droite $\Delta$ : $y=x$

 

b. Étudier la position relative de $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ $\Delta$

 

c. Tracer soigneusement $\left(\mathcal{C_{f}}\right)$ et $\Delta$

1. Soit $h$ la fonction définie sur $]0\;,+\infty[$ par : $h(x)=x\ln x-x$

 

Calculer $h'(x)$ où $h'$ est la dérivée de $h$ sur $]0\;,+\infty[$

 

2. Calculer en $cm^{2}$ l'aire $\mathfrak{A}$ du domaine plan délimité par $\left(C_{f}\right)$, $\Delta$, $\left(\mathbb{D_{1}}\right)$ : $x=1$ et $\left(\mathbb{D_{2}}\right)$ : $x=\dfrac{4}{3}$

 

On donnera la valeur exacte de $\mathbb{A}$ et une valeur approchée à $10^{-2}$ près