Devoir n° 38 - Ts1
Exercice 1 :
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1;,-1$ et $2$ avec les probabilités respectives $\mathrm{e}^{a}$, $\mathrm{e}^{b}$ et $\mathrm{e}^{c}$ où $a$, $b$, et $c$ sont en progression arithmétique.
On suppose que l'espérance mathématique.
$E(X)=1$
1. Calculer $a$, $b$, $c$ et la variance $V(X)$
2. Soit $A$, $B$, et $C$ les points d'abscisse respectives $1;,-1$ et $2$ d'une droite graduée $(\Delta)$
a. Calculer l'abscisse du point $G$ barycentre ${(A\;,1) ; (B\;,2)\ ;\ (C\;,4)}$
b. On pose $\varphi(M)=\dfrac{1}{7}\left(MA^{2}+2MB^{2}+4MC^{2}\right)$ où $M$ est point de $(Delta)$
Montrer que $\varphi(G)=V(X)$
c. Déterminer l'ensemble des points $M$ de $(\Delta)$ tels que $\varphi(M)=3$
Exercice 2 :
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
Si $p$ est un nombre premier et $\alpha$ un entier naturel premier avec $p$, alors $a^{p-1}-1$ est divisible par $p$
1. Prouver à l'aide de ce petit théorème de Fermat que $4^{28}-1$ est divisible par $29.$
2. Soit $a$ et $n$ deux entier naturels non nuls.
Démontrer que $(a+1)^{n}=1^{n}[a]$
Prouver à l'aide de ce petit théorème de fermat que
En déduire que $4^{n}=1[3]$
3. Soit $a$ et $n$ deux entier naturels non nuls.
Démontrer $(a-1)^{2n}=(-1)^{2n}[a]$
En déduire que $4^{4n}=1[17]$ et $4^{2n}=1[5]$
4. A l'aide des questions précédentes déterminer quatre diviseurs premiers de $48^{28}-1$
Exercice 3 :
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$, on considère les points $A\begin{pmatrix}2\\0\\0 \end{pmatrix}$ ;
$B\begin{pmatrix}1\\3\\0 \end{pmatrix}$ et $C\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ et le triangle $M_{1}M_{2}M_{3}$ définit par :
$\overrightarrow{OM}_{1}=\alpha\overrightarrow{OA}$ ;
$\overrightarrow{OM}_{2}=b\overrightarrow{OB}$ et
$\overrightarrow{OM}_{3}=c\overrightarrow{OC}$ où
$a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels de l'intervalle $[0\ ;\ 1]$
Le but de l'exercice est de déterminer, parmi les triangles $M_{1}M_{2}M_{3}$, un triangle d'aire maximale.
1. Faites une figure.
2. On pose :
$\overrightarrow{S}_{1}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}\wedge\overrightarrow{OC}$ ;
$\overrightarrow{S}_{2}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}\wedge\overrightarrow{OA}$ ;
$\overrightarrow{S}_{3}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}$ et
$\overrightarrow{S}_{4}=\dfrac{1}{2}\wedge\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$
a. Calculer les coordonnées de ces quatre vecteurs ainsi que leurs normes.
Puis prouver l'égalité :
$\overrightarrow{S}_{4}-\overrightarrow{S}_{1}-\overrightarrow{S}_{2}-\overrightarrow{S}_{3}=\overrightarrow{O}$
b. On pose : $\overrightarrow{T}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\wedge\overrightarrow{M}_{1}M_{3}$
Rappelez l'interprétation géométrique de la norme de $\overrightarrow{\mathfrak{T}}$
c. Prouver l'égalité : $bc\overrightarrow{S}_{1}+ca\overrightarrow{S}_{2}+ab\overrightarrow{S}_{3}=\overrightarrow{T}$
Montrer aussi que $\overrightarrow{T}$ s'écrit sous la forme $\overrightarrow{T}=(bc-x)\overrightarrow{S}_{1}+(ca-x)\overrightarrow{S}_{2}+(ab-x)\overrightarrow{S}_{3}+x\overrightarrow{S}_{4}$
où $x$ désigne un réel quelconque.
3. On suppose $a\leq c$ et $b\leq c$
En choisissant $x=ab$, prouver l'intégralité $\left|\left|\overrightarrow{T}\right|\right|\leq(bc+ca-ab)S$ où $S$ la plus grande des normes des vecteurs $\overrightarrow{S}_{1}$, $\overrightarrow{S}_{2}$, $\overrightarrow{S}_{3}$ et $\overrightarrow{S}_{4}$
Vérifier que $bc+ca-ab=c^{2}-(c-b)(c-a).$
En déduire que $0\leq(bc+ca-ab)\leq1$ et $\left|\left|\overrightarrow{T}\right|\right|\leq S$
4. Préciser, parmi les triangles $M_{1}M_{2}m_{3}$, un triangle dont l'aire est maximale.
Problème
On considère la fonction $F$ définie sur $[0\;,+\infty[$ par :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} F(x)&=&\int_{x}^{2x}\dfrac{\mathrm{e}^{-1}}{t}dt\text{si}x>0\\ F(0)&=&\ln 2 \end{array}\right.$
1.a. Montrer que la fonction $\varphi$ définie sur $[0\;,+\infty[$ par :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \varphi(x)&=&\dfrac{\mathrm{e}^{-1}-1}{x}\text{si }x>0\\ \varphi(0)&=&-1 \end{array}\right.$ est continue sur $[0\;,+\infty[$
b. Étudier le signe de la fonction $g$ définie sur $[0;,+\infty[$ par : $g(x)=1-(x+1)\mathrm{e^{-x}}$, et en déduire les variations de $\varphi$
c. Montrer que pour tout $x>0\;,x\varphi(x)\leq F(x)-\ln 2\leq x\varphi(2x).$
En déduire que $F$ est continue en $0$
2.a. Montrer que la fonction $h$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $$h(x)=\ \int_{1}^{x}\dfrac{e^{-t}}{t}dt$ est dérivable puis calculer sa dérivée.
b. Pour tout nombre réel $t>0$, exprimer $F(t)$ à l'aide de la fonction $h$, démontrer alors que $F$ est dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$ et calculer sa dérivée sur $]0\ ;\ +\infty[$
C. Étudier la dérivabilité de $F$ au point $;$
Vérifier que, pour tout réel, $t>0$ on a $t\mathrm{e}^{-t}< 1$
En déduire $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty} F(x).$
d. Dresser le tableau de variations de $F.$
Tracer la courbe représentative de $F$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\right)$ $\text{unité }2\,cm$
3.a. Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par $\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x)&=&\dfrac{\mathrm{e^{-2x}}-\mathrm{e^{-x}}}{x}\text{si }x>0\\f(0)&=&-1 \end{array}\right.$ est continue sur $[0\ ;\ +\infty[$
b. Pour tout $n\in\mathbb{N}$ ; on pose $I_{n}=\int_{0}^{n}f(x)dt.$
Déterminer $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}I_{n}.$
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