Devoir n° 1 - Ts1

Classe:

Terminale

Exercice 1

1. Soit

$a$ et

$b$ deux réels vérifiant

$0\leq a<b.$

Démontrer les relations :

$a<\sqrt{ab}<b(i)$ et

$a<\dfrac{2ab}{a+b}<\dfrac{a+b}{2}<b(ii)$

2. Soit

$\left(a_{n}\right)$ et

$\left(b_{n}\right)$ deux suites définies pour

$n\geq 1$ par :

$\left\lbrace\begin{array} {lcl} b_{1}=2\sqrt{3}&\text{et}&a_{1}=3\\ b_{n+1}=\dfrac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}&\text{et}&a_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n+1}} \end{array}\right.$

En utilisant le 1.a, démontrer par récurrence que :

Pour tout

$n\geq 1\;,0\leq a_{n}<b_{n}.$

3. En déduire le sens de variation des suites

$\left(a_{n}\right)$ et

$\left(b_{n}\right)$

4. Montrer que les suites

$\left(a_{n}\right)$ et

$\left(b_{n}\right)$ sont convergentes

5. Démontrer que , pour

$n\geq 1$ :

$b_{n+1}-a_{n+1}\leq\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-a_{n}\right)$

(on pourra utiliser

$(i)$ et

$(ii)$ )

6. En déduire que, pour

$n\geq 1$ ,

$b_{n}-a_{n}\leq\dfrac{1}{2^{n}}$ et que les suites

$\left(a_{n}\right)$ et

$\left(b_{n}\right)$

convergent vers la même limite.

Exercice 2

Pour tout entier naturel

$\geq 2$ , on considère la fonction polynômiale

$p_{n}$ définie pour tout

$x\in\mathbb{R_{+}}$ par :

$p_{n}(x)=-1+\sum_{k=1}^{n}x^{k}$

1.a. Étudier le sens de variation de

$p_{n}$ sur

$\mathbb{R_{+}}$ et préciser

$p_{n}(0)$ et

$p_{n}(1).$

b. En déduire que, pour

$n\geq 2$ ,

$p_{2}$ admet une racine unique

$a_{n}$ dans

$]0\ ;\ 1[.$

Donner la valeur exacte de

$a_{2}$

2.a. Démontrer que pour tout entier

$n\geq 2$ on a :

$P_{n+1}\left(a_{n}\right)<0$

b. En déduire le sens de variation de la suite

$\left(a_{n}\right)$ est-elle convergente ?

3.a. Démontrer que pour

$x\neq 1$ , on a :

$P_{n+1}(x)=\dfrac{x^{x+1}-2x+1}{x-1}$

En déduire que pour tout

$n\geq 2$ , on a :

$a_{n}^{n+1}-2a_{n}+1=0$

b) Justifier, que pour

$n\geq 2$ , que

$a_{n}\leq a_{2}< 1$ et

$0<2a_{n}-1\leq a_{2}^{n+1}$

c. En déduire

$\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}a_{n}$

Problème

Partie A

Soit

$f$ la fonction définie sur

$\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+2}}$

2. Montrer que

$f$ réalise une bijection de

$\mathbb{R}$ vers un intervalle

$J$ à préciser

2) Montrer que

$f$ réalise une bijection de

$\mathbb{R}$ vers un intervalle

$J$ à préciser

3. Tracer la courbe

$(\mathcal{C}$ de

$f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé

$\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

Unité graphique :

$2\,cm$

4. Montrer que la bijection réciproque

$f^{1}$ de

$f$ est dérivable sur

$]-1\ ;\ 1[$ et on a :

$\forall x\in]-1\ ;\ 1]$ :

$f^{-1}(x)=1+\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}[$

Indication :

$t^{2}-2t+2=(t-1)^{2}+1$

5. Tracer la courbe

$\left(\mathcal{C'})\right)$ de

$f^{-1}$ dans le même repère

Partie B

Soit

$g$ la fonction définie sur

$\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ par :

$g(x)=\sin x+f^{-1}(\sin x)-\tan x$

1. Montrer que

$g$

$\forall x\in]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}[$ :

$g(x)=1+\sin x$

2. Montrer que

$g$ réalise une bijection de

$]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}[$ vers

$]0\ ;\ 2[$

3. Montrer que :

$\forall x\in]0\ ;\ 2[$ :

$\left(g^{-1}\right)^{'}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-x^{2}}}$

Parie C

Soit

$\varphi$ la fonction définie sur

$]0\ ;\ 2[$ par :

$\varphi(x)=g^{-1}(x)+g^{-1}(2-x)$

1. Montrer que

$\varphi$ est dérivable sur

$]0\ ;\ 2[$ puis calculer

$\varphi^{'}(x)$

2. Montrer que

$\forall x\in]0\ ;\ 2[$ ;

$g^{-1}(x)+g^{-1}(2-x)=0$

Interpréter géométriquement le résultat.

3. Soit

$\left(U_{n}\right)_{n\geq 1}$ la suite définie par :

$U_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left[g^{-1}\left(\dfrac{1}{k}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)\right]$

a. Montrer que la suite

$\left(u_{n}\right)_{n\geq 1}$ est parfaitement définie

b. Vérifier que :

$\varphi\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)=g^{-1}\left(\dfrac{2k+1}{k+1}\right)+g^{-1}\left(\dfrac{1}{k+1}\right)$

c. En déduire que :

$U_{n}=-g^{-1}\left(\dfrac{1}{n+1}\right)$

d. Calculer la limite de la suite

$\left(U_{n}\right)_{n\geq 1}$

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