Devoir n° 7 - Ts1

Classe: 
Terminale

Exercice 

Partie A

En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer les inégalités suivantes :
 
1. bacos2atanbtanabacos2b
 
0<a<b<π2.
 
2. 12a+1a+1a12a
 
a>0.

Parte B

Soit f la fonction définie sur ]0,12] par f(x)=1sinπx
 
1. Montrer que f est une bijection de ]0,12] sur [1,+[.
 
2. Soit f1 la bijection réciproque.
 
Calcul f1(2).
 
3. Montrer f1 est dérivable sur ]1,+[ et déterminer sa fonction dérivée.
 
4. Soit n un entier naturel non nul.
 
On considère la fonction fn définie sur ],12], fn+1(x)>fn(x).
 
En déduire que fn+1(an)>0
 
c. Montrer que an est croissante et qu'elle est convergente.
 
d. Montrer que an=f1(2+(an)n).
 
Calculer alors lim
 

Problème 

 
Soit la fonction f définie par : 
 
\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&x\sqrt{|\dfrac{x+1}{x}|}\\ f(x)&=&\dfrac{x^{3}-x^{2}}{x^{2}+1} \end{array}\right.
 
1. Déterminer le domaine de définition de f puis l'écrire sans valeurs absolue.
 
2. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
 
b. Étudier la dérivabilité de f en -1.
 
Interpréter les résultats.
 
3. Soit la fonction g définie par :
 
g(x)=x^{3}+3x-2.
 
a. Montrer que l'équation ((x)=0 admet une solution unique \alpha sur \mathbb{R}
 
b. En déduire le signe de g suivant les valeurs de x
 
4. Calculer f'(x) sur les intervalles où f est dérivable.
 
5. montrer que sur ]0\;,+\infty[, f^{'}(x)=\dfrac{xg(x)}{x^{2}+1}, puis dresser le tableau de variation de f sur \mathbb{R}.
 
6. Étudier les branches infinies de f.
 
7. Soit h la restriction de f à l'intervalle I=]-\infty\;,-1].
 
a. Monter que h réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser.
 
b. h^{-1} est-elle dérivable en -\sqrt{2} ?
 
Si oui déterminer \left(h^{-1}\right)^{'}(-\sqrt{2}).
 
8. Tracer \mathcal{C_{f}} et \mathcal{C_{h}^{-1}} dans un même repère.
Auteur: 

Ajouter un commentaire