Devoir n° 7 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice
Partie A
En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer les inégalités suivantes :
1. b−acos2a≤tanb−tana≤b−acos2b ;
0<a<b<π2.
2. 12√a+1≤√a+1−√a≤12√a ;
a>0.
Parte B
Soit f la fonction définie sur ]0,12] par f(x)=1sinπx
1. Montrer que f est une bijection de ]0,12] sur [1,+∞[.
2. Soit f−1 la bijection réciproque.
Calcul f−1(2).
3. Montrer f−1 est dérivable sur ]1,+∞[ et déterminer sa fonction dérivée.
4. Soit n un entier naturel non nul.
On considère la fonction fn définie sur ],12], fn+1(x)>fn(x).
En déduire que fn+1(an)>0
c. Montrer que an est croissante et qu'elle est convergente.
d. Montrer que an=f−1(2+(an)n).
Calculer alors lim
Problème
Soit la fonction f définie par :
\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&x\sqrt{|\dfrac{x+1}{x}|}\\ f(x)&=&\dfrac{x^{3}-x^{2}}{x^{2}+1} \end{array}\right.
1. Déterminer le domaine de définition de f puis l'écrire sans valeurs absolue.
2. a. Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
b. Étudier la dérivabilité de f en -1.
Interpréter les résultats.
3. Soit la fonction g définie par :
g(x)=x^{3}+3x-2.
a. Montrer que l'équation ((x)=0 admet une solution unique \alpha sur \mathbb{R}
b. En déduire le signe de g suivant les valeurs de x
4. Calculer f'(x) sur les intervalles où f est dérivable.
5. montrer que sur ]0\;,+\infty[, f^{'}(x)=\dfrac{xg(x)}{x^{2}+1}, puis dresser le tableau de variation de f sur \mathbb{R}.
6. Étudier les branches infinies de f.
7. Soit h la restriction de f à l'intervalle I=]-\infty\;,-1].
a. Monter que h réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser.
b. h^{-1} est-elle dérivable en -\sqrt{2} ?
Si oui déterminer \left(h^{-1}\right)^{'}(-\sqrt{2}).
8. Tracer \mathcal{C_{f}} et \mathcal{C_{h}^{-1}} dans un même repère.
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