Devoir n°8 - Ts1

 

NB : 

 

Les questions 1) ; 2) et 3) sont indépendantes.

 

1. Énoncer le théorème des accroissements finis. 

 

2. Soit $\begin{array}{rcl} f\ :\ \left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[&\longrightarrow&\mathbb{R}\\x&\mapsto&\tan x \end{array}$

 

a) Montrer que $f$ admet une bijection réciproque que l'on notera arctan. 

 

b) Soit $g$ la fonction définie par $(t)=\text{arc}\tan t.$ 

 

Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\forall\;t\in\mathbb{R}\;,\ g'(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.$

 

c) Soit $x>0.$ 

 

En appliquant le théorème des accroissements finis à $g$ sur $[0\ ;\ x]$, montrer qu'il existe $c\in\;]0\ ;\ x[$ tel que $\dfrac{\text{arc}\tan x}{x}=\dfrac{1}{1+c^{2}}$

 

d) En déduire que $\forall\;x>0\;,\ \dfrac{-x}{1+x^{2}}\leq\dfrac{\text{arc}\tan x-x}{x^{2}}\leq 0$, puis déterminer $\lim\limits_{x\longrightarrow\;0^{+}}\dfrac{\text{arc}\tan x-x}{x^{2}}.$

 

3. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(1)&=&0\\ f'(x)&=&\dfrac{1}{1+\left(x-1\right)^{2}} \end{array}\right.$

 

a) On pose $g(x)=f(2-x)+f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}.$ 

 

Montrer que $g(x)=k$ pour tout $x\in\mathbb{R}\quad\text{où}\quad k$ est une constante réelle. 

 

$($On pourra calculer $g'(x)).$ 

 

b) Montrer que $k=0.$ 

 

En déduire que $A\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_{f}.$

 

c) Justifier que pour tout $x\in\;[1\ ;\ 2]$, $0\leq f'(x)\leq 1.$ 

 

En déduire que $0\leq f'(2)\leq 1.$

 

d) On admet que $\lim\limits_{x\longrightarrow\;+\infty}f(x)=L$, avec $L\in\mathbb{R}.$ 

 

Soit $h(x)=1+\tan x$ pour tout $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

 

Calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\dfrac{\pi^{-}}{2}}\left(f\circ h\right)(x)$

 

e) Soit $m(x)=\left(f\circ h\right)(x)-x\quad\text{avec}\quad x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$

 

Calculer $m'(x)$ pour tout $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$

 

f) En déduire que $\left(f\circ h\right)(x)=x\quad\text{pour tout}\quad x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ et la valeur de $L.$

 

g) Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[1\ ;\ +\infty[.$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,,\ \vec{v}).$

 

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)\ :\ 2z^{2}-\left(7+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)z+2\left(3+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)=0.$

 

2. On considère les points $\Omega\;,\ A\;,\ B\text{ et }C$ d'affixes respectives $1$ ; $2$ ; $b=\dfrac{3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ et $c=1+b^{2}.$ 

 

On désigne par $(\mathcal{C})$, le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $1.$

 

a) Vérifier que $B\in(\mathcal{C})$ puis donner une mesure en radians de $\left(\widehat{\overrightarrow{\Omega A}\;,\ \overrightarrow{\Omega B}}\right).$

 

Donner la nature du triangle $\Omega AB.$

 

b) Écrire sous forme exponentielle $b-1$ et $c-1.$ 

 

3. Soit $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\ ; 1\}\ ;\ M(z)\quad\text{et}\quad M'\left(1+z^{2}\right).$

 

a) Montrer que $\Omega\;,\ M\text{ et }M'$ sont alignés si seulement si $\dfrac{z^{2}}{z-1}\in\mathbb{R}^{\ast}.$

 

b) On pose $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $\theta\in]0\ ;\ 2\pi[.$

 

Écrire $\dfrac{z^{2}}{z-1}$ sous forme exponentielle et déterminer les points $M\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\right)$ tels que $\Omega\;,\ M\text{ et }M'$ sont alignés.

 

4. A tout point $M(z)$ distinct de $O$ et $\Omega$, on associe le point $M'(z')$ tel que : $z'=\dfrac{z-1}{z}.$

 

a) Vérifier que : $z'-1=-\dfrac{1}{z}.$

 

En déduire que $\overrightarrow{\Omega M'}$ et $\overrightarrow{OM}$ sont colinéaires et de sens contraires. 

 

b) Construire $M'$ à partir d'un point $M$ du cercle trigonométrique privé de $\Omega.$ 

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

 

Étant donné un entier $n>1$, on considère les $n$ points $A_{1}$, $A_{2}\;,\ \ldots\;,\ A_{n}$ dont les affixes dans ce repère sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(E)\ ∶\  z^{n}=1.$

 

Soit $z_{1}=\cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right).$ 

 

1. Exprimer en fonction de $z_{1}$ les n solutions de l'équation $(E).$

 

2. Déterminer l'isobarycentre des points $A_{1}$, $A_{2}\;,\ \ldots\;,\ A_{n}.$ 

 

3. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que :

$$||\overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{MA_{2}}+\ldots+\overrightarrow{MA_{n}}||=n$$

 

Déterminer l'ensemble $(E')$ des points $M$ du plan tels que :

$$MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+\ldots+MA_{n}^{2}=2n$$

1. Soit $g$ la fonction définie par : $g(x)=1-\dfrac{2}{x}+\ln(-x)$ 

 

a) Déterminer $\mathcal{D}_{g}$ puis calculer les limites aux bornes de $\mathcal{D}_{g}.$ 

 

b) Dresser le tableau de variations de $g.$ 

 

c) Préciser le signe de $g$ sur $]-\infty\ ;\ 0[.$ 

 

2. Soit $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} (x-2)\ln(-x)&&\quad\text{si }x<0\\ \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{1+x}&&\quad\text{si }x>0 \end{array}\right.$ 

 

a) Déterminer $\mathcal{D}_{f}$ puis calculer les limites aux bornes de $\mathcal{D}_{f}.$ 

 

b) Justifier que $f$ est dérivable sur $]-\infty\ ;\ 0[$ et montrer que $f'(x)=g(x)\forall\;x\in]-\infty\ ;\ 0[.$ 

 

c) Étudier les variations de $f$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$ 

 

d) Tracer $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé.

 

3. a) Montrer que pour tout $x>0$, on a : $\ln x\leq x-1.$

 

$($On pourra étudier la fonction $x\mapsto\ln x-x+1).$

 

b) Soient $x_{1}$, $x_{2}\;,\ \ldots\;,\ x_{n}$ des réels strictement positifs où $n$ un entier tel que $n\geq 2.$

 

En appliquant l'inégalité du 3. a) à $$\alpha_{i}=\dfrac{x_{i}}{\dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)}$$

 

Montrer que : $$\dfrac{1}{n}\left[\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}\right]\leq\ln\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}}{n}\right].$$

 

c) Déduire de l'inégalité du 3. b) que :$$\Pi_{i=1}^{n}x_{i}\leq\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\right]^{n}.$$