Devoir n°8 - Ts1

Classe: 
Terminale
 

Exercice 1

NB : 
 
Les questions 1) ; 2) et 3) sont indépendantes.
 
1. Énoncer le théorème des accroissements finis. 
 
2. Soit f : ]π2 ; π2[Rxtanx
 
a) Montrer que f admet une bijection réciproque que l'on notera arctan. 
 
b) Soit g la fonction définie par (t)=arctant. 
 
Justifier que g est dérivable sur R et tR, g(t)=11+t2.
 
c) Soit x>0. 
 
En appliquant le théorème des accroissements finis à g sur [0 ; x], montrer qu'il existe c]0 ; x[ tel que arctanxx=11+c2
 
d) En déduire que x>0, x1+x2arctanxxx20, puis déterminer limx0+arctanxxx2.
 
3. Soit f une fonction dérivable sur R telle que {f(1)=0f(x)=11+(x1)2
 
a) On pose g(x)=f(2x)+f(x) pour tout xR. 
 
Montrer que g(x)=k pour tout xRk est une constante réelle. 
 
(On pourra calculer g(x)). 
 
b) Montrer que k=0. 
 
En déduire que A(10) est un centre de symétrie de Cf.
 
c) Justifier que pour tout x[1 ; 2], 0f(x)1. 
 
En déduire que 0f(2)1.
 
d) On admet que limx+f(x)=L, avec LR. 
 
Soit h(x)=1+tanx pour tout x]π2 ; π2[
 
Calculer limxπ2(fh)(x)
 
e) Soit m(x)=(fh)(x)xavecx]π2 ; π2[
 
Calculer m(x) pour tout x]π2 ; π2]
 
f) En déduire que (fh)(x)=xpour toutx]π2 ; π2[ et la valeur de L.
 
g) Dresser le tableau de variation de f sur [1 ; +[.

Exercice 2 

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, u,, v).
 
1. Résoudre dans C l'équation (E) : 2z2(7+i3)z+2(3+i3)=0.
 
2. On considère les points Ω, A, B et C d'affixes respectives 1 ; 2 ; b=3+i32 et c=1+b2. 
 
On désigne par (C), le cercle de centre Ω et de rayon 1.
 
a) Vérifier que B(C) puis donner une mesure en radians de (^ΩA, ΩB).
 
Donner la nature du triangle ΩAB.
 
b) Écrire sous forme exponentielle b1 et c1. 
 
3. Soit zC{0 ;1} ; M(z)etM(1+z2).
 
a) Montrer que Ω, M et M sont alignés si seulement si z2z1R.
 
b) On pose z=eiθ avec θ]0 ; 2π[.
 
Écrire z2z1 sous forme exponentielle et déterminer les points M(eiθ) tels que Ω, M et M sont alignés.
 
4. A tout point M(z) distinct de O et Ω, on associe le point M(z) tel que : z=z1z.
 
a) Vérifier que : z1=1z.
 
En déduire que ΩM et OM sont colinéaires et de sens contraires. 
 
b) Construire M à partir d'un point M du cercle trigonométrique privé de Ω. 

Exercice 3 

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O, u, v).
 
Étant donné un entier n>1, on considère les n points A1, A2, , An dont les affixes dans ce repère sont les solutions dans C de l'équation (E)  zn=1.
 
Soit z1=cos(2πn)+isin(2πn). 
 
1. Exprimer en fonction de z1 les n solutions de l'équation (E).
 
2. Déterminer l'isobarycentre des points A1, A2, , An. 
 
3. Déterminer l'ensemble (E) des points M du plan tels que :
||MA1+MA2++MAn||=n
 
Déterminer l'ensemble (E) des points M du plan tels que :
MA21+MA22++MA2n=2n

Exercice 4 

1. Soit g la fonction définie par : g(x)=12x+ln(x) 
 
a) Déterminer Dg puis calculer les limites aux bornes de Dg. 
 
b) Dresser le tableau de variations de g. 
 
c) Préciser le signe de g sur ] ; 0[. 
 
2. Soit f(x)={(x2)ln(x)si x<0ln(1+1x)11+xsi x>0 
 
a) Déterminer Df puis calculer les limites aux bornes de Df. 
 
b) Justifier que f est dérivable sur ] ; 0[ et montrer que f(x)=g(x)x] ; 0[. 
 
c) Étudier les variations de f sur ]0 ; +[. 
 
d) Tracer Cf dans un repère orthonormé.
 
3. a) Montrer que pour tout x>0, on a : lnxx1.
 
(On pourra étudier la fonction xlnxx+1).
 
b) Soient x1, x2, , xn des réels strictement positifs où n un entier tel que n2.
 
En appliquant l'inégalité du 3. a) à αi=xi1n(nk=1xk)
 
Montrer que : 1n[ni=1lnxi]ln[ni=1n].
 
c) Déduire de l'inégalité du 3. b) que :Πni=1xi[ni=1xin]n.
 
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