Devoir n°8 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
NB :
Les questions 1) ; 2) et 3) sont indépendantes.
1. Énoncer le théorème des accroissements finis.
2. Soit f : ]−π2 ; π2[⟶Rx↦tanx
a) Montrer que f admet une bijection réciproque que l'on notera arctan.
b) Soit g la fonction définie par (t)=arctant.
Justifier que g est dérivable sur R et ∀t∈R, g′(t)=11+t2.
c) Soit x>0.
En appliquant le théorème des accroissements finis à g sur [0 ; x], montrer qu'il existe c∈]0 ; x[ tel que arctanxx=11+c2
d) En déduire que ∀x>0, −x1+x2≤arctanx−xx2≤0, puis déterminer limx⟶0+arctanx−xx2.
3. Soit f une fonction dérivable sur R telle que {f(1)=0f′(x)=11+(x−1)2
a) On pose g(x)=f(2−x)+f(x) pour tout x∈R.
Montrer que g(x)=k pour tout x∈Roùk est une constante réelle.
(On pourra calculer g′(x)).
b) Montrer que k=0.
En déduire que A(10) est un centre de symétrie de Cf.
c) Justifier que pour tout x∈[1 ; 2], 0≤f′(x)≤1.
En déduire que 0≤f′(2)≤1.
d) On admet que limx⟶+∞f(x)=L, avec L∈R.
Soit h(x)=1+tanx pour tout x∈]−π2 ; π2[
Calculer limx⟶π−2(f∘h)(x)
e) Soit m(x)=(f∘h)(x)−xavecx∈]−π2 ; π2[
Calculer m′(x) pour tout x∈]−π2 ; π2]
f) En déduire que (f∘h)(x)=xpour toutx∈]−π2 ; π2[ et la valeur de L.
g) Dresser le tableau de variation de f sur [1 ; +∞[.
Exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, →u,, →v).
1. Résoudre dans C l'équation (E) : 2z2−(7+i√3)z+2(3+i√3)=0.
2. On considère les points Ω, A, B et C d'affixes respectives 1 ; 2 ; b=3+i√32 et c=1+b2.
On désigne par (C), le cercle de centre Ω et de rayon 1.
a) Vérifier que B∈(C) puis donner une mesure en radians de (^→ΩA, →ΩB).
Donner la nature du triangle ΩAB.
b) Écrire sous forme exponentielle b−1 et c−1.
3. Soit z∈C∖{0 ;1} ; M(z)etM′(1+z2).
a) Montrer que Ω, M et M′ sont alignés si seulement si z2z−1∈R∗.
b) On pose z=eiθ avec θ∈]0 ; 2π[.
Écrire z2z−1 sous forme exponentielle et déterminer les points M(eiθ) tels que Ω, M et M′ sont alignés.
4. A tout point M(z) distinct de O et Ω, on associe le point M′(z′) tel que : z′=z−1z.
a) Vérifier que : z′−1=−1z.
En déduire que →ΩM′ et →OM sont colinéaires et de sens contraires.
b) Construire M′ à partir d'un point M du cercle trigonométrique privé de Ω.
Exercice 3
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O, →u, →v).
Étant donné un entier n>1, on considère les n points A1, A2, …, An dont les affixes dans ce repère sont les solutions dans C de l'équation (E)\ ∶\ z^{n}=1.
Soit z_{1}=\cos\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right).
1. Exprimer en fonction de z_{1} les n solutions de l'équation (E).
2. Déterminer l'isobarycentre des points A_{1}, A_{2}\;,\ \ldots\;,\ A_{n}.
3. Déterminer l'ensemble (E) des points M du plan tels que :
||\overrightarrow{MA_{1}}+\overrightarrow{MA_{2}}+\ldots+\overrightarrow{MA_{n}}||=n
Déterminer l'ensemble (E') des points M du plan tels que :
MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+\ldots+MA_{n}^{2}=2n
Exercice 4
1. Soit g la fonction définie par : g(x)=1-\dfrac{2}{x}+\ln(-x)
a) Déterminer \mathcal{D}_{g} puis calculer les limites aux bornes de \mathcal{D}_{g}.
b) Dresser le tableau de variations de g.
c) Préciser le signe de g sur ]-\infty\ ;\ 0[.
2. Soit f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} (x-2)\ln(-x)&&\quad\text{si }x<0\\ \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{1}{1+x}&&\quad\text{si }x>0 \end{array}\right.
a) Déterminer \mathcal{D}_{f} puis calculer les limites aux bornes de \mathcal{D}_{f}.
b) Justifier que f est dérivable sur ]-\infty\ ;\ 0[ et montrer que f'(x)=g(x)\forall\;x\in]-\infty\ ;\ 0[.
c) Étudier les variations de f sur ]0\ ;\ +\infty[.
d) Tracer \mathcal{C}_{f} dans un repère orthonormé.
3. a) Montrer que pour tout x>0, on a : \ln x\leq x-1.
(On pourra étudier la fonction x\mapsto\ln x-x+1).
b) Soient x_{1}, x_{2}\;,\ \ldots\;,\ x_{n} des réels strictement positifs où n un entier tel que n\geq 2.
En appliquant l'inégalité du 3. a) à \alpha_{i}=\dfrac{x_{i}}{\dfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)}
Montrer que : \dfrac{1}{n}\left[\sum_{i=1}^{n}\ln x_{i}\right]\leq\ln\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}}{n}\right].
c) Déduire de l'inégalité du 3. b) que :\Pi_{i=1}^{n}x_{i}\leq\left[\dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\right]^{n}.
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