Devoir n°8 - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
NB :
Les questions 1) ; 2) et 3) sont indépendantes.
1. Énoncer le théorème des accroissements finis.
2. Soit f : ]−π2 ; π2[⟶Rx↦tanx
a) Montrer que f admet une bijection réciproque que l'on notera arctan.
b) Soit g la fonction définie par (t)=arctant.
Justifier que g est dérivable sur R et ∀t∈R, g′(t)=11+t2.
c) Soit x>0.
En appliquant le théorème des accroissements finis à g sur [0 ; x], montrer qu'il existe c∈]0 ; x[ tel que arctanxx=11+c2
d) En déduire que ∀x>0, −x1+x2≤arctanx−xx2≤0, puis déterminer limx⟶0+arctanx−xx2.
3. Soit f une fonction dérivable sur R telle que {f(1)=0f′(x)=11+(x−1)2
a) On pose g(x)=f(2−x)+f(x) pour tout x∈R.
Montrer que g(x)=k pour tout x∈Roùk est une constante réelle.
(On pourra calculer g′(x)).
b) Montrer que k=0.
En déduire que A(10) est un centre de symétrie de Cf.
c) Justifier que pour tout x∈[1 ; 2], 0≤f′(x)≤1.
En déduire que 0≤f′(2)≤1.
d) On admet que limx⟶+∞f(x)=L, avec L∈R.
Soit h(x)=1+tanx pour tout x∈]−π2 ; π2[
Calculer limx⟶π−2(f∘h)(x)
e) Soit m(x)=(f∘h)(x)−xavecx∈]−π2 ; π2[
Calculer m′(x) pour tout x∈]−π2 ; π2]
f) En déduire que (f∘h)(x)=xpour toutx∈]−π2 ; π2[ et la valeur de L.
g) Dresser le tableau de variation de f sur [1 ; +∞[.
Exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O, →u,, →v).
1. Résoudre dans C l'équation (E) : 2z2−(7+i√3)z+2(3+i√3)=0.
2. On considère les points Ω, A, B et C d'affixes respectives 1 ; 2 ; b=3+i√32 et c=1+b2.
On désigne par (C), le cercle de centre Ω et de rayon 1.
a) Vérifier que B∈(C) puis donner une mesure en radians de (^→ΩA, →ΩB).
Donner la nature du triangle ΩAB.
b) Écrire sous forme exponentielle b−1 et c−1.
3. Soit z∈C∖{0 ;1} ; M(z)etM′(1+z2).
a) Montrer que Ω, M et M′ sont alignés si seulement si z2z−1∈R∗.
b) On pose z=eiθ avec θ∈]0 ; 2π[.
Écrire z2z−1 sous forme exponentielle et déterminer les points M(eiθ) tels que Ω, M et M′ sont alignés.
4. A tout point M(z) distinct de O et Ω, on associe le point M′(z′) tel que : z′=z−1z.
a) Vérifier que : z′−1=−1z.
En déduire que →ΩM′ et →OM sont colinéaires et de sens contraires.
b) Construire M′ à partir d'un point M du cercle trigonométrique privé de Ω.
Exercice 3
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé (O, →u, →v).
Étant donné un entier n>1, on considère les n points A1, A2, …, An dont les affixes dans ce repère sont les solutions dans C de l'équation (E) ∶ zn=1.
Soit z1=cos(2πn)+isin(2πn).
1. Exprimer en fonction de z1 les n solutions de l'équation (E).
2. Déterminer l'isobarycentre des points A1, A2, …, An.
3. Déterminer l'ensemble (E) des points M du plan tels que :
||→MA1+→MA2+…+→MAn||=n
Déterminer l'ensemble (E′) des points M du plan tels que :
MA21+MA22+…+MA2n=2n
Exercice 4
1. Soit g la fonction définie par : g(x)=1−2x+ln(−x)
a) Déterminer Dg puis calculer les limites aux bornes de Dg.
b) Dresser le tableau de variations de g.
c) Préciser le signe de g sur ]−∞ ; 0[.
2. Soit f(x)={(x−2)ln(−x)si x<0ln(1+1x)−11+xsi x>0
a) Déterminer Df puis calculer les limites aux bornes de Df.
b) Justifier que f est dérivable sur ]−∞ ; 0[ et montrer que f′(x)=g(x)∀x∈]−∞ ; 0[.
c) Étudier les variations de f sur ]0 ; +∞[.
d) Tracer Cf dans un repère orthonormé.
3. a) Montrer que pour tout x>0, on a : lnx≤x−1.
(On pourra étudier la fonction x↦lnx−x+1).
b) Soient x1, x2, …, xn des réels strictement positifs où n un entier tel que n≥2.
En appliquant l'inégalité du 3. a) à αi=xi1n(∑nk=1xk)
Montrer que : 1n[n∑i=1lnxi]≤ln[∑ni=1n].
c) Déduire de l'inégalité du 3. b) que :Πni=1xi≤[∑ni=1xin]n.
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