Devoir n° 9 - Ts1

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Soit θ un réel tel que O<θπ2 et  (n)nN, la suite définie par : 

0=2cosθ et n+1=Un+2nN.
 
 
1. Calculer en fonction de θ, 1  et  2 puis comparer 0 et 1.
 
2. a. Montrer par récurrence que la suite (Un) est croissante.
 
b. Montrer par récurrence que pour tout entier n, 0<n2.
 
c. En déduire que (Un) est convergente et trouver sa limite.
 
3. a. Montrer par récurrence que pour tout n, \cup_{n}=\cos\left(\dfrac{\theta}{2"}\right)
 
b. Retrouver alors la limite de \left(\cup_{n}\right).

Exercice 2

Soit P le polynôme de la variable complexe z défini par :

P(z)=\left(z^{2}-5z+8\right)^{2}+(4-z)^{2}.
 
1. Résoudre dans C l'équation \left(z^{2}-5z+8\right)+i(4-z)=0
 
2. Résoudre dans C l'équation P(z)=0.
 
3. Soit x un réel ; factoriser P(x) sous la forme d'un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels.

Problème 

Partie A

On considère la fonction g définie sur l'intervalle I=\left[-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[ par :
 
g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}.
 
On pose V(x)=g(x)+\dfrac{1}{2}x^{4}\;,\quad \forall x\ln I.
 
1. Étudier les variations de g et de V
 
\left(\text{il ne sera pas nécessaire de calculer les limites aux bornes de }\mathbb{D}_{g}\text{et de }\mathbb{D}_{v}\right)
 
2. En déduire que, \forall x\ìn I,
 
-\dfrac{1}{2}x^{4}\leq g(x)\leq 0.

Partie B

Soit la fonction f définie sur ]-1\ ;\ +\infty[ par : 
 
\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^{2}}\quad\text{Si }x\neq 0\\ f(0)&=&\dfrac{1}{2} \end{array}\right.
 
On note \left(\mathcal{C}\right) la courbe de f dans le plan muni d'un repère \left(O\;,\vec{i}\ ;\ \vec{j}\right) (\text{Unité }: 2\,cm).
 
3.1.a Vérifier, pour tout x\geq-\dfrac{1}{2} et x\neq 0, que f(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}.
 
b. En utilisant l'inégalité trouvée en A
 
2. démontrer que f est dérivable en 0 et donner une équation de la tangente (T) à (\mathcal{C}) au point d'abscisse 0.
 
c. f est-elle contenue en 0 ? Justifier votre réponse.
 
2. Soit h la fonction définie sur ]-1\ ;\ +\infty[ par : h(x)=\dfrac{-x^{2}-2x}{1+x}+2\ln(1+x)
 
a. Étudier le sens de variation de h ; calculer h(0) et en déduire le signe de h sur ]-1\ ;\ +\infty[.
 
b. Démontrer que pour tout x\ln]-1\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[, on a f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^{3}}
 
c. dresser le tableau de variation complet de f.
 
3. Construire (\mathcal{C}) et la tangente (T) (\text{On précisera les asymptotes de (\mathcal{C)}})

Partie C

1.a Démonter que la fonction w définie sue ]-1\ ;\ +\infty[ par : w(x)=f(x)-x est continue et strictement décroissante.
 
b. En déduire que l'équation f(x)=x admet une unique solution \alpha dans ]-1\ ;\ +\infty[ et que \dfrac{1}{4}<\alpha<1
 
2.a. Sachant que pour tout x\geq 0 
 
On a : x-\dfrac{x^{2}}{2}\leq\ln(1+x), démontrer alors que pour tout x\geq 0 
 
On a : \dfrac{-1}{1+x}\leq f'(x)\leq 0 ; puis pour tout x\in\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ 1\right]\quad|f'(x)|\leq\dfrac{4}{5}.
 
(\text{On pourra utiliser les résultats de }B.2)
 
b. Démontrer que si \dfrac{1}{4}\leq x\leq 1 alors \dfrac{1}{4}\leq x\leq 1 alors \dfrac{1}{4}\leq f(x)\leq 1.
 
3. On définit la suite \left(V_{n}\right) par :
 
V_{0}=\dfrac{1}{2} et par la relation de récurrence V_{n+1}=f\left(V_{n}\right)\;,\forall n\in\mathbb{N}
 
a. Justifier que, \forall n\in\mathbb{N}, \dfrac{1}{4}\leq V_{n}\leq 1
 
b. Démontrer que, \forall n\in\mathbb{N},
 
\left|V_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{4}{5}\left|V_{n}-\alpha\right| ; puis que, \forall n\in\mathbb{N}\;,\quad\left|V_{n}-\alpha\right|\leq\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}.
 
c. En déduire que la droite \left(V_{n}\right) converge et déterminer sa limite.
 
d. Déterminer un entier n_{0} tel que \forall n\geq n_{0}, V_{n} soit une valeur approchée de \alpha à 10^{-1} près.
 

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