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Composition mathématique n°2 - Ts2

Classe:

Terminale

Exercice 1

Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses

$A$ ,

$B$ et

$C$ sont proposées dont une seule, est exacte.

Donner le numéro de l'énoncé suivi de la réponse choisie.

Chaque réponse exacte est notée

$0.5$ point.

Une réponse fausse ou une absence de réponse sont notées zéro.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{Enoncés }&A&B&C\\ \hline 1&\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}2x^{3}-x^{2}+\dfrac{1}{x}=&0&-\infty&2\\ \hline 2&\lim\limits_{x\longrightarrow 0}\dfrac{\cos x-1}{x}=&0&-\infty&1\\ \hline &\text{La suite }\left(u_{n}\right)\text{définie par }&&\\ 3&u_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\text{ pour tout }&-\infty&0&+\infty\\ &n\in\mathbb{N}\text{ admet pour limite }&&\\ \hline &\text{Soit }h\text{ la fonction définie par }&&\\ 4&h(x)=\sin+x.\text{ Le calcul de la }&h\text{ n'a pas de}&\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}h(x)=-1&\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}h(x)=-\infty\\&\text{limite de} h \text{ en}\infty\text{ permet de }&\text{limite en }-\infty&\\ &\text{conclure que : }&&\\ \hline &\text{La courbe représentative se }&&\\ 5&\text{la fonction :}x\mapsto\sqrt{x^{2}+x}-x&y=\dfrac{1}{3}&y=\dfrac{1}{2}&y=-\dfrac{1}{3}\\ &\text{ admet en }+\infty\text{une }\\&\text{ asymoptote d'équation :}&&\\ \hline &\text{L’équation de la tangente à la }&&\\ 6&\text{ courbe de la fonction }&y=3x-1&y=3x+1&y=5x-3\\ &f: x\mapsto 2x^{3}-x^{2}+\dfrac{1}{x}\text{ au point }&&\\ &\text{d'abscisse }1\text{ est : }&& \\ \hline \end{array}$

Exercice 2

On considère la suite

$\left(U_{n}\right)$ définie par :

$U_{0}=2$ et

$\forall n\in\mathbb{N}$ ,

$U_{n+1}=\dfrac{SU_{n}-1}{U_{n}+3}$

oit r la fonction définie sur

$I=[1\ ;\ +\infty[$ par :

$r(x)=\dfrac{5x-1}{x+3}$

1.a. Dresser le tableau de variation de

$r$

2.a. Montrer par récurrence que

$\forall n\in\mathbb{N}$ ,

$U_{n}-1>0$

b. En déduire que

$\left(U_{n}\right)$ est minorée.

3.a. Montrer que pour tout

$x$ de

$I$ ,

$r(x)+\dfrac{(x-1)^{2}}{x+3}=x$

b. En déduire que pour tout

$x$ élément de

$I$ ,

$r(x)\leq x$

c. Déduire de

$3.b$ le sens de variation de

$\left(U_{n}\right)$

d. Montrer que la suite

$\left(U_{n}\right)$ est convergente puis déterminer sa limite.

4. Soit

$\left(V_{n}\right)$ la suite telle que :

$\forall n\in\mathbb{N}$

$V_{n}=\dfrac{1}{U_{n}-1}$

a. Montrer que

$\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison

$\dfrac{1}{4}$

b. Exprimer

$V_{n}$ puis

$U_{n}$ en fonction

$n.$

c. Retrouver :

$\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}U_{n}$

Problème

Partie A

Soit

$f$ la fonction définie par :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{|x|+3}{x^{2}+1}&\text{ si }<1\\ \sqrt{x^{2}+x+2}&\text{ si }x\geq 1 \end{array}\right.$

$\left(C_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormal

$\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ d'unité

$2\,cm$

1. Montrer que

$\D_{f}$ , l'ensemble de définition de

$f$ est

$\mathbb{R}$

2. Pour

$x<1$ , exprimer

$f(x)$ sans le symbole de valeur absolue.

3. Étudier la continuité de

$f$ en

$0$ puis en

$1$

4. Étudier la dérivabilité de

$f$ en

$0$ puis en

$1.$

5. Étudier les limites de

$f$ aux bornes de

$D_{f}$

6.a. Montrer que pour tout

$x<x1\;,f'(x)=\dfrac{x^{2}-6x-1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

b. Montrer que pour tout

$x$ tel que

$0<x<1\;,f'(x)=\dfrac{-x^{2}-6x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

c. Pour

$x>1$ , calculer

$f'(x)$

7. Étudier les variations de

$f$ puis dresser son tableau de variation.

8.a Montrer que les droites d'équations

$y=0$ et

$x+\dfrac{1}{2}$ sont des asymptotes à

$\left(C_{f}\right)$

b. Construire

$\left(C_{f}\right)$

Partie B

On désigne par

$g$ la restriction de

$f$ à

$[1\ ;\ +\infty[$

1. Montrer que

$g$ réalise une bijection de

$I$ vers un intervalle

$J$ à déterminer.

2.Construire la courbe représentative

$\left(C'\right)$ de la fonction réciproque

$g^{1}$ de

$g.$

3. Soit

$h$ la fonction définie sur

$[1\ ;\ +\infty[$ par

$h(x)=\dfrac{4x+2}{f(x)}$

Déterminer la primitive de

$h$ sur

$\[1\ ;\ +\infty[$ qui s'annule en

$1.$

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